西安市第八十一中学
一节专题复习课课例研究初中数学单元复习课有很多种，可分为随堂性复习，章节复习，专题复习，中考总复习等等。以下我主要选择了单元专题复习课进行了案例研究。
我选择了《最短路径问题—将军饮马》一课作为我的课题研究的一个课例，进行了中考数学专题复习课的案例研究和教学策略探究。这一节课的主要内容是在学习了《平行四边形》和《一次函数》这两章的知识之后，对八年级上册《轴对称》一章中的课题学习《最短路径问题》一课的延伸学习。学习这一节课，对学生在知识上和方法上的提升都具有十分重要的意义。我的教学立意是力图通过这一节课的学习，1、让学生熟练应用最短路径的基本模型；2、掌握计算最短路径的长度的一般思想和方法；3、培养学生的转化思想、数形结合思想和函数思想。
【引入】（利用音频进行引入）
古从军行（节选）
唐•李颀
白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河。
行人刁斗风沙暗，
公主琵琶幽怨多。
●修改意图：数学课堂上利用一首古诗进行引入，给学生留下了悬念“这节课要学什么？”，激发学生的学习兴趣；从诗中找出那位饮马的将军，再引导学生由实际问题转化为数学问题，提高学生分析问题的能力。从学生十分熟悉的“将军饮马”的故事着手进行环节一：自主复习部分。
●对比效果：利用这首古诗引入，简化了引入的环节，既可以达到给学生留下悬念的目的，又可以很快的切入主题，为后面几个环节的学习节省了时间。
环节一 【自主复习】
师：1．（1）如图1，已知直线l及其两侧A、B两点，在直线l上求作一点P，使PA+PB和最小。
图1
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图2
（2）如图2，已知点A,B在直线l的同一侧，在l上求作一点P，
使得PA+PB最小。
生：图1中直接连接AB，交点即为点P，图2中先作点A关于直线的对称点A’，再把A’与点B连接，交点即为点P。（学生回答与预设答案相符。）
师：结论：AP+PB=
理论依据：
基本图形：
预设答案：AP+PB=A’B，理论依据是两点之间线段最短。基本图形是两点一线。
生：AP+PB=A’B 理论依据和基本图形是轴对称。
●学生表现：学生能够说出怎么作图，怎么解决问你，但是对其理论依据和出现的基本图形并不清楚，基础知识欠佳。
●课堂诊断：基本图形学生十分熟悉，在提到理论依据时，学生的第一反应是轴对称，这说明学生对解题的方法掌握良好，但是对知识的根本掌握并不牢固。两点一线这一模型其实是利用轴对称的知识进行位置的改变，最终利用两点之间，线段最短这一原理解决问题。
师：2．在我们现在所学过的几何图形①等腰三角形、②平行四边形、③矩形、④菱形、⑤正方形中是轴对称图形的有。（填写序号）
生：①③④⑤（与预设答案相符）
●修改意图：通过数学中著名的有关最短路径（将军饮马）的故事，让学生回忆两点一线的基本模型，理解其数学本质，有利于接下来利用此模型来解决一系列的相关问题。培养学生解决问题的能力，并由此明确本节课的学习目标。
●对比效果：通过对专题复习内容的调整，让学生明确目标，本节课的重点就是利用两点一线模型解决数学问题。模型减少了，学生的学习目标更加明确了，解决问题的思路也更加清晰。
环节二 【针对练习】
（一）学以致用——小试牛刀
1.如图（1），点C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，则AC+CE的最小值为。
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2.如图（2），点C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=2，DE=1，BD=4，则AC+CE的最小值为。
（二）合作探究
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类型一 在几何图形中求线段和的最小值
1.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是.
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变式：如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
【归纳】
基本方法：
基本思想：
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类型二 在坐标系中求线段和的最小值
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2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）若E为OA边上的一个动点，则EC+ED的最小值为；
（2）若E为OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标。
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●修改意图：本环节设计了两个部分，第一部分是对基本模型的直接套用，第二部分则是对最短路径的一个深入学习，需要结合八年级下册刚刚学过的《平行四边形》一章内容进行学习，体现数学知识的延续性学习。
●对比效果：在教师设计方面，本环节的两部分练习，体现出了由简单到复杂的递进性，层次感强。在合作学习部分加上了小标题，与第一次课中凌乱的练习题相比，可以让学生一看就知道我在应用两点一线的模型解决哪一类问题，思路清晰，并且比第一次课中多了归纳总结环节，通过学生对基本方法和基本思路的总结，本节课所应用的数学方法与数学思想在学生解题的过程中进行渗透。
学生方面，第一部分利用上一个环节复习的两点一线的模型直接解题，学生看到题目后很快的找到了解题的方法，成就感十足，学习的信心倍增，激发了学生对第二部分学习的兴趣，小组合作学习自然展开，合作意识与展示欲望都得到了调动，学习的效果较第一次课要有很大的提高。
环节三【点拨提升】
3、若E、F为OA边上的两个动点，且EF=2，当
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四边形CDEF的周长最小时，点E的坐标为(，)、
点F的坐标为(，).
归纳：
基本方法：
基本思想
●修改意图：本环节设计的这一个问题，其实就是合作学习环节中最后一题的一个变式，体现数学问题的多变性。学生要想解出此题，就需要结合八年级下册刚刚学过的《一次函数》一章和所学过的与平移内容相关的知识进行学习，使学生在复习课上体会知识、方法与思想之间的纵横联系，利用知识分析问题，采取方法解决问题，从中培养学生的函数思想、数形结合思想等核心素养。
●对比效果：教师备课方面，与第一次课中设计了一系列的题目相比较，本环节的选题更加精炼，以上一环节中的合作学习作为基础，本环节在知识、方法上都上了一个新的台阶。
学生方面，通过上一环节的合作学习，学生在熟悉的背景下解决新的问题并不感到陌生，拿到题后就在利用各种各样的方法尝试解题，较第一次课时学生根本无从下手要有了很大的进步。
环节四 【知识、方法、思想总结】
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●对比效果：这节课学生在小结时效果明显比好转，尤其是转化思想，在环节三中每进行完一种类型的练习后都有一次归纳，学生对化“折”转“直”的印象深刻，所以转化思想渗透较好，但是在点拨提升部分，利用一次函数的相关知识来解决问题时，学生还是感觉到比较吃力，在刚学完一次函数的情况下，学生利用函数知识解决问题的意识淡薄，函数思想还未形成。
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环节五 【当堂检测】
1.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为。
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2.如图，在平面直角坐标系中，点A（1,1），点B（2,4），y轴上有一动点P，PA+PB的最小值为.
●效果总结：
本节课总体效果比改进前有了明显提高，时间把控方面也有了很大的进步。
我在对本节课进行修改时对教学内容有了一定的调整，把一节原本面铺的很广的最短路径问题最终修改为只复习最短路径中的两点一线问题。通过实际案例的研究，我发现了在设计一节专题复习课时，不要贪图种类繁多，面铺的越广，就越不容易深入学习，往往做得都是一些浅显的表面文章，这些也恰好是绝大多数学生原本就已经掌握的东西，只不过是我们把它聚集在了一起而已。要想通过专题复习课的学习使学生在知识、方法技能等方面都有所提高，就要做到复习的知识面要适当，选择的练习题要精炼，在复习的同时各方面都有要有所提升。
学生通过本节复习课的主动参与，主动学习，利用两点一线这一模型解决最短路径问题的能力也有了很大的提高。但是在解决问题的方法选择上仍然存在一定的欠缺，学生利用函数思想解决问题的意识淡薄，这说明我在设计本节课时，在引导学生利用函数思想解决问题方面仍存在一定的问题。
●试想：
有没有一条主线可以贯穿这节课的始终，利用这条主线来引导学生采用适当的方法解决问题呢？
基于上述疑问，我对本节课又进行了第二次的修改，试图找到一条贯穿始终的主线，看看学生是否能够到达预期的学习效果。
4、对课例进行又一次改进
我根据对本节课的教学内容的特点，发现这节专题复习课的主要用意是把轴对称中学习的最短路径问题的基本模型与解题思路进行知识上、解题方法上的延伸，是想利用两点一线这一模型，结合方程和函数的相关知识，解决在四边形中求最短路径的问题。因此，我找到了贯穿整节课始终的一条主线，是“求四边形中的最短路径”，因此，我再一次的把课题名称由《最短路径中的两点一线》更换成了《四边形中的最短路径问题》，立意十分明确，就是解决四边形中最短路径的问题，而学生通过这一节课的学习，1、掌握利用轴对称知识画出四边形中的最短路径；2、会计算四边形中最短路径的长度。3、学生在知识上有所积累，在方法上有所提升，最终达到提升学生学习能力的目的。
重新设计完成后，我又一次更换班级，再次进行课堂实践。
【引入】（我自己朗诵）
古从军行（节选）
唐•李颀
白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河。
行人刁斗风沙暗，
公主琵琶幽怨多。
环节一【知识链接】
利用《古从军行》这首古诗带领学生回忆《轴对称》一章中学习的将军“饮马问题”，带领学生把实际问题转化成数学问题：
1．基本图形：
（1）如图1，已知直线l及其两侧A、B两点，在直线l上求作一点P，使PA+PB和最小。
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图1
（2）如图2，已知点A,B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小。
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结论：AP+PB=.
理论依据：。
2.教师利用多媒体课件出示本节课的学习目标,学生齐读学习目标。
目标1.利用轴对称知识画出四边形中的最短路径;
目标2.会计算四边形中最短路径的长度。
●对比效果：本节课保留了第一次修改之后的成功之处，利用古诗引入，激发了学生的学习兴趣，同时也为后续的学习总结埋下了伏笔。在环节一中我又稍加修改，增加了利用多媒体出示本节课学生的学习目标，其实就是本节课学生解决问题必须要掌握的两步，一是“画”，而是“算”，学生们齐读过本节课的学习目标之后，心中已有目标，在本节课的学习中就带着目标去进行，方向明确，思路清晰，有利于学生在一个专题中进行深入学习。这样的修改明显可以看到学生的改变就是能够有的放矢，不再漫无目的。
环节二 【针对练习】
（一）问题学习
1.数学问题
已知:正方形OABC中, D为OC的中点，E是对角线OB上的一个动点.
问题解决：
1.若EC+ED的值最小，在图中画出点E的位置；
2.若正方形OABC的边长为2，则EC+ED的最小值是；
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3.若EC+ED的最小值是
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，求正方形的边长是多少？
注：本环节教学过程说明：
1．学生回答问题：
2.教师板书问题3的解题过程。
3.分析问题，利用方程思想解决问题，归纳总结解决正方形中最短路径问题的步骤：
（1）利用轴对称画出最短路径；
（2）化“折”为“直”；
（3）计算，求出最小值。
●修改意图：本次修改是将原来传统的典型题型练习进行了整合，以数学问题的形式出现，目的就是为了明确学习的方向及本节课的探究方法，对学生的探究学习起到引导作用，同时此环节这样修改还是为了通过问题学习，规范步骤，渗透数学思想，为学生接下来的合作学习打下基础。
●效果对比：通过对典型练习题目的整合，学生感觉到并不是在解一道又一道不相干的练习，而是在解决一系列的问题，并且通过问题学习，掌握了解决最短路径问题的解题步骤。
环节二【针对练习】
（二）变式练习
各学习小组根据多媒体课件中出示的学习任务和学习要求进行合作探究，小组代表展示学习成果。
变式（一）：若正方形OABC变为菱形OABC.
问题解决：
1.AB=2，∠AOC=60°，D是OC的中点，E是对角线OB上的一个动点，则EC+ED的最小值为．
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2. EC+ED的最小值是
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，则菱形的边长是.
学生活动
变式（二）.若正方形OABC变为矩形OABC，OA=3，OC=4，D为边OC的中点．
问题解决：
1.若E为OA边上的一个动点，则EB+ED的最小值为；
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2.若矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。E为OA边上的一个动点，当△BDE的周长最小时，求
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E的坐标。
思维延伸
3.若E、F为OA边上的两个动点，且EF=1，当四边形BDEF的周
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长最小时，
（1）在图中画出点E、F的位置；
（2）此时点E的坐标为(，)，
点F的坐标为(，).
●学生表现：
小组代表1：
1.首先分析问题，在图中画出点E的位置，并化“折”为“直”，然后求出最小值。
2.利用方程思想解决问题
小组代表2：
首先分析问题，在图中画出点E的位置，并化“折”为“直”，然后求出最小值。(此时不能应用四边形自身的对称性来找对称点，所以要延长边，作出对称点，进而解决问题。)
小组代表3：
1.在矩形上添加平面直角坐标系，求三角形周长和最小时点E的坐标，首先要明确三角形什么情况下周长和最小，把这个问题转化为两条线段和最小值的问题，把上一个问题的结论直接应用到这个问题中来；
2.利用一次函数相关知识解决平面直角坐标系中的几何问题，在解决问题的过程中领会函数思想。
小组代表4：
1.首先分析问题，把四边形最小和问题转化为两条线段和最小值问题（其中利用了轴对称知识和平移的知识）；
2.利用上一个问题中的函数思想解决问题。
这个小组的代表十分聪明，利用了折纸的方法，直观的解决了本节课的难点，让同学们十分清楚的看到了平移的过程和作用。
●修改意图：本环节为小组合作学习环节，在此环节中，我设计以四边形作为一条贯穿始终的主线，由正方形到菱形的变换，再由正方形到矩形的变换，最后把矩形放在了平面直角坐标系中，引导学生体会它们之间的联系与区别，并逐层渗透方程与函数等数学思想，最终达到提高学生解决问题的能力的目的。
●效果对比：通过修改后的环节，学生在合作学习中目标明确，思路清晰，整个合作环节也变得十分流畅，很多问题都顺理成章的被学生解决了，这说明学生在学习的过程当中分析问题、解决问题的能力都有所提高。
环节四【课堂小结】
教师指出方向，学生进行归纳总结：
1.解决四边形中最短路径问题的步骤；
2.解决四边形中最短路径问题的知识、方法、思想。
●效果对比：
通过本节课的学习，学生能够很好的从知识、方法、思想等方面进行小结，这说明本节课的学习效果还是不错的，按照预期，达到了本节课的教学目标，在学生数学知识体系的形成、解决问题的方法获取、数学思想的渗透等方面都较好的体现了出来。
环节五【课堂检测】
1.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为。
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2.如图，在平面直角坐标系中，点A（1,1），点B（2,4），y轴上有一动点P，PA+PB的最小值为.
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【古诗改写】
古从军行（改写）
白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河。
欲求线段最小值，
平移对称线段挪。
●修改意图：
本节课在最后又加了一个小小的内容，就是故事改写。利用古诗做到前后呼应，其主要目的就是让学生改感到有趣的同时加深对本节课学习的印象，进一步巩固本节课学习的重点。
●效果对比：
古诗改写一出现，学生们十分感兴趣，很短的时间内就把它记住了，在记古诗的时候，其实就是把本节课的重点又进行了回忆，印象深刻，不容易忘记，效果很好。
▲研究成效
通过对这一专题复习课的不断的改进，从中也获取了许多。
首先，在教师“教”方面：通过本节专题复习课，基本体现了复习课中针对某一个数学问题的多变性，制定层次分明、课堂的学习内容由四边形作为引线，层层递进。在教师“教”方面，本课例体现出了复习数学知识的体系性，数学问题的多变性，通过一题多变的形式，进行了数学问题的串联，使学生学习起来更有层次、有条理，不会觉得散乱。同时，在变的过程中对数学思想进行了渗透，例如：方程思想、函数思想。
其次，在学生“学”方面：本节专题复习课中注重学生的主体地位，问题由古诗《古从军行》和将军饮马的古诗提起，激发了学生的学习兴趣。本课通过问题学习的形式让学生进行自主学习和小组合作学习，把原本不相干的练习进行整合，使学生感到解题方法的延续性，学生课堂学习的参与度较高，兴趣浓，学生的解题方法和解决问题的能力得到了提升，同时方程思想与函数思想也得到了渗透。通过本课例的研究，充分体现了学生学习方式的主动性。尤其是学生在完成变式（二）中的问题3时，聪明的学生利用了折纸的方法形象的讲解了线段平移的特点，让原本很难理解的平移变得直观易懂，突破了教学难点，通过点拨提升，学生更加深入的理解借助平移方法解决四边形中的最短路径问题的数学本质。
通过初中数学复习课的案例研究，将课堂教学策略总结如下：
1.认真钻研教材，确定复习重点。
确定复习重点时首先要考虑夯实基础知识，构建知识网络；其次，要熟识每一个知识点在初中数学教材中的地位、作用，并要教会学生分析重点；再次，要对教育改革方向有很好的把握。
2.对“复习内容”进行整合。
在选择复习内容时，一定要对“复习内容”进行整合，注意规律、知识技能、知识之间的纵横联系，帮助学生形成知识网。
3.习题设计要具有代表性。
在复习时要把握习题的数量和质量，保证训练的有效性，既要体现双基训练，又要体现分析与综合的灵活应用，还要体现新旧知识之间的联系，让学生通过练习掌握解题的一般规律、方法和技巧，提高知识的综合运用能力。
4.注重习题的归类、变式的教学。
在初中数学复习课中，根据教学的重点和学生的实际学情，要注意引导学生对相关习题进行归类，总结解题规律，提高复习效率。要加强基础知识的掌握，为综合运用打下坚实的基础。对具有可变性的习题时，注意引导学生进行变式训练，抓一题多解和一题多变，做到举一反三，使学生从多方面感知数学的方法、提高学生综合分析问题、解决问题的能力。
5.注重学生的主体地位。
首先要做到在课堂上尝试把复习的主动权交给学生。可以让学生先通过小组合作探究，列出本节课的复习计划，明确目标。
其次对“学习过程”进行整合。学生对已学过的知识都在一定程度上有了解，我们应该相信学生，留给学生较大的探索空间，发挥他们的聪明才智，教师切忌面面俱到。
6.注重学生分析问题、解决问题的能力培养。
在复习课的设计环节中，一定要注重问题教学，通过问题的设置，引导学生进行问题的分析，从中寻找方法解决问题。在问题的不断深入中发现解决问题的通法，进而灵活应用。在教师的引导下提高分析问题、解决问题的能力，培养良好的数学学科核心素养。
7.善于反思。
在复习策略设计完成或是课堂教学结束后，教师要在讲授顺序、深度和广度、留给学生的时间和空间等方面进行深入反思。只有及时反思，才能发现教学中的不足，不断提高自己的教学能力。同时，学生也要对学过的内容进行反思，是自己能够通过复习课的学习达到活学活用，轻松高效。
总之，要改变初中数学复习课的现状，就要改变以教师为主体的观念，改变学生则在教师的支配下，被动整理知识，机械模仿解题的复习课模式，注重学生的创新思维培养，注重对学生提高系统解决问题的能力培训。
1、教师“教”方面：
（1）教育教学理念合理化。
在数学复习课的教学活动中，充分体现学生的主体地位和教师的主导作用，学生真正成为学习的主体，得到全面发展。
（2）专业化水平得到提高。
在课程的环节设计和教学活动设计上，能够注重面向全体学生的同时关注个体差异。在知识体系的构建，数学问题多变性的构建和解题方法的多样性构建方面也有很大的提升。课堂上鼓励与提倡学生解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等都尽可能地让所有学生都能主动参与，寻求解决问题的方法，并通过小组合作学习与他人交流最终选择合适的方法，丰富数学活动的经验，提高思维水平。
（3）促进了教师的成长。
主要包括提升教师自身修养，提高了课堂教学水平和科研能力。
结合我校的“六课工程”活动，通过学科组集体备课、说课、研课，听课、评课等形式开展教研活动，经过多次备课，不断完善，寻找出最适合初中学生的课堂复习模式，并通过学生的课堂反应及单元测试了解教学效果。
2、学生“学”方面
（1）学生的学习兴趣有所提高。
通过复习课上的情境导入、问题导学等形式的引入，小组合作探究学习等方式使学生的学习兴趣有所提高，根据不同层次的学生都有自己的帮扶对象，使每个人在课堂上都有自己的收获。
（2）学生的知识结构更加合理，运用知识的能力明显提高。
复习课上把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，同时通过一题多解、一题多变等形式的练习，培养学生解决问题的能力，一节课上看似解决了一个问题，但通过变式训练探索出解决一系列问题的方法与途径，并在不断改变的同时难度增大，能力提升。
初中数学复习课的教学是很常见却又具挑战性的教学，只要教师能够很好的把握学生的主体地位、教师的主导作用，在复习课上，真正培养起学生学习的自主性和自学能力，就能极大地提高复习课教学效果，让学生在轻松愉快的氛围中复习巩固好数学知识点，而不是填鸭式的灌输。学生在主动学习的同时提高了自身分析问题，解决问题的能力。
复习课课例研究.docx
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