2018高考数学试题解析：提升数学能力是王道
2018年高考来袭，975万考生创近8年高考人数新高，首批00后登上高考舞台引发关注。作为全国人民共同关注的年度大考，高考是一个孩子命运的转折点，也是一个家庭希望的寄托处。千军万马争过独木桥的激烈竞争中，每一年的高考都牵动着无数人的心。为了帮助今年的高考生深入了解真题，精准估分，同时帮助在校高中生了解高考命题趋势，新浪教育联手乐学高考的名师，为广大考生和家长在高考后第一时间解析高考全国卷。高考数学试题解析我们邀请到的是乐学高考数学名师张钢、杨浩波。
以下为直播文字实录：
主持人：各位新浪的网友大家好，欢迎关注新浪教育高考特别节目，2018年高考首日已经结束，在这个激动人心的时刻，新浪高考特别联合K12在线教育领导品牌乐学高考为大家送出高考期间的特别节目，“2018领跑未来 直击高考 真题解析”暨2018高考解析直播节目。今天我们请到直播间的是乐学高考两位数学老师，杨浩波老师和张钢老师，首先请张钢老师和网友打声招呼。
张钢：各位新浪的网友，大家晚上好，我是来自乐学高考的张钢老师。大家都称呼我“张Sir”。
主持人：非常欢迎张老师，张老师是乐学高考数学学科的负责人，也是首席讲师，有一线教学经验十多年，是非常资深的一位数学老师，再次欢迎张老师的到来。
接下来请杨浩波老师跟网友打声招呼。
杨浩波：Hello，屏幕前的观众朋友大家好，我是来自乐学高考的数学老师杨浩波，大家可以叫我波少。
主持人：非常欢迎杨老师，杨老师看起来非常年轻，估计今年扔在高考大军中可能还可以蒙混过关一把。杨老师是少年数学天才，心算能力非常强，在高中的时候就修完了大学的高数和现代课程，是非常优秀的。再次欢迎两位老师的到来。
去年新浪教育就联合乐学高考推出了高考试题的解析，受到了非常多考生和家长的欢迎。今年大家也是很期待咱们今天的这个环节。
首先，请两位老师来分析一下今年三套试题的难度以及特点，还有今天 的江苏和浙江数学大战，大家都在讨论说到底是江苏的题更难还是浙江的题更难，也想请两位老师给我们解析一下。
试题进化有规律 提升能力是王道
张钢：其实大家都可以翻翻每一年的高考分析，其实数学真题出来前，大家说的话都是类似的，稳中求变，变中求稳，试卷特点呢，就是重视双基，综合性，应用性，文化性，创新性。这种对在座的各位就是片汤话，没有任何的营养和价值。我们的理念是要给大家真正务实的东西，真正的干货，希望能真正帮助到你们。
在座的各位可能有一部分是今年参加高考的同学，还有一部分准高三的同学或学生家长，还有的呢可能就是不明真相的群众，过来看一看热闹。其实大家对高考数学都是非常关注的，段子可以说是层出不穷，曾经有一位网红教师，江苏数学大神葛军老师。今年就有同学说，今年的高考数学又是葛军老师出题了！葛军老师出面说，现在的高考数学实在太简单了。当然，我们都当段子说，在我们心中，葛军教授在数学命题上真的是出神入化，他能够精准的把握难度和区分度。这个能力也是我们终身都要追求的一个目标。
网上曾经做过一个调查，就说有七成的网友特别害怕数学，也可以说，高考数学就是用来淘汰这70%的人的，当然实际上没有这么夸张。但这确实反映出一个问题，那就是高考数学的的确确是需要一些方法和技巧的，我们今天就在第一时间结合着历年考题还有今年考试的特点，跟大家谈一谈备考建议。
杨浩波：没错，这就是你2019高考数学复习的起点，就是你数学涅槃重生的时刻，这一个小时，每一刻都是精华，你要庆幸，可能就因为这一个小时，一年之后你和别的同学在数学拉开了四五十分的差距，别人上二本，你上一本；别人上一本，你上重本；别人上重本，你上清北。
张钢：好，咱来看题。
主持人：详细说说今年的题目
张钢：我们先从压轴说，这也是大家特别关注的。就像出了语文试卷，大家特别关注作文一样，参与度高嘛！今年，无一例外，依旧还是一道导数题。我们先不讲他具体怎么解，到时候在乐学高考app我们会录相应的真题解析，我们今天主要聊一聊这道题怎么考的，我们又该怎么破。
我们先看一下题面：f（x）=1/x-x+alnx，两小问，第一小问要求这个函数的单调性，这道题第一小问，是要求一个复杂函数单调性，那面对一个超越函数，我们肯定要借助导数工具，这背后就要考察基本初等函数的导数公式和求导法则，由于这道题涉及到参数，必然会涉及到分类讨论，那这里我就教过我的学生分类讨论之旧约新传，旧约就是经典四连，比方有人冤枉你了，你都怎么回复，你是谁啊，你说啥呢，你干嘛啊，你别问我我不知道啊。
类似的，这里的讨论也有经典四连：啥函数？有根么？谁大啊？在哪了？当然我在这里说的都比较的口语化，至于背后的逻辑我就不在这里展开了。
那至于第二小问，很多同学说这个以中值定理为背景的题目。其实这个，我在近几年的课里都有所涉及，这类题目无非就是移项，通分，重组，再构造，转化成一个显得函数的单调性问题。在这里我们就不多说了，大家有兴趣可以看看我的一轮课程，导数双变量那节课，讲过非常类似的题目了。
当然我说的是旧约，新传的背后和零点分段有关，我就不在这里具体展开了，确实今天时间有限。
对于核心的内容，固定的结构，我们应该有足够的应对措施，这个背后就有很多同学关注今年我们有没有命中压轴了。因为16年新课标1卷，考了一道极值点偏移，我当年成功命中它，让很多同学直呼“舒爽”。考完之后直接到app的咖啡厅来发来贺电。在我看来，这件事出乎意外，又在意料之中。出乎意外就是指，历年的地方试卷有考过，比如说天津卷，湖北卷。意料之中是指，它的核心考查内容是单调性，这也是在高中阶段最重要的性质了，我们试想，在单调性为核心的基础之上，加上美丽的包装，或者是极值点偏移，或是双零点问题，或者更一般的双变量问题，那我们面对他们的时候，会不会更从容。因为最高纲领我们如果可以get到了，就可以做到融会贯通，各个击破。
其实预测这件事，是有一定的概率的，但的的确确，试题进化有他的一定的规律性，可能前两年我们运气比较好，预测到了，因为我们一直以来也在关注整个试题的规律，与命题人做着博弈。但是我们坚信一点，提升数学能力才是王道。如果你能力足够强的话，其实不需要预测。就像波少这样的，见题灭题。
杨浩波： 没有没有，
张钢：固定的结构还有，我们再来看今年的全国新课标2卷，f（x）=e^x-ax^2，第一小问，是在a=1的情况下，证明不等式关系，这道题参数都被具化了，非常典型的端点效应。当然这道题通过求导一次，是不够的，需要再次求导，也就是我们常说的二阶导。那对于二阶导的小草图，我们可以清晰地画出来，通过导数的小草图慢慢地倒到一阶导的单调性，进而判定它的最值，而后就可以清楚原函数的单调性了，很常规。那至于第二小问，由于a>0，我们直接将其除到不等式另一侧，进行参变分离即可，后期对构造的新函数采用求导，分析其单调性和最值。大家也能感受得到这道题目真的是相当的“常规”。这类常规操作，我们还要有哪些储备呢？比方说17年所考查的隐零点问题，设而不求，整体代换的操作思路，比方说还有同学们比较挠头的导数不等式，但如果我们通晓它的紧密交织的关系图，就会发现其命题方向的脉络。除此之外解题技巧也有，像变换主元、双元问题的降维打击等等，我信手拈来说出这么多导数压轴的处理特点，那回过来再看今年的题目，完全在我们的掌控之中了。
杨浩波：今年其实我们也挺惊讶的，一考完学生就在我们的咖啡厅里马上就抱怨，说国I的概率题马上就炸了，题序改变了。我们先不看题，先讲一下，之前考前同学们发来小道消息，说概率统计会和圆锥曲线互换位置，没想到真正考试考出来会发现真的概率统计的题放到了第20题。但是你会发现实际上仍然没有脱离考纲，只不过命题组更想倾向于稳中求变。今年这一道概率统计的题，这上面第一步的解题逻辑，第一问说的是你需要从200个物件当中抽出20个物件，判断这20个物件当中有没有两个物件正好是次品，每一个物件是次品的概率是P。这一段话很多人就听不懂，其实就在于不能理解二项分布和超几何分布具体的区别。我们说过二项分布和超几何分布有什么区别，二项分别是指你要做N次实验，每次实验的概率都是一个P，而超几何分布是只做一次实验，考虑一次实验当中次品的个数。你会发现这个题，因为每一个物件的概率都是P，你并不知道这200个物件当然到底几个次品。显然第一问你就应该理解是一个二项分布，这是它的第一个难点。而且你会发现这道题最核心的问题在哪儿，最核心的问题是问P取什么值才达到最大，那么这个地方，我们就要通过导函数，对P要求导，得到这个函数，那么你会发现，最后导函数中，就有1-10p这么一个整体，所以p应该是1/10取得一个最大值。这个时候其实大家如果学到大学就会明白，实际上是把一个大学的内容给下放了，是一个极大概率似然的理念。不理解这个概念没有一点关系。这题的难度最主要是在于第一问，把概率统计的大题给上到20题，让你理解一下二项和超几何的区别，以及与导数相结合这两点，你会发现只要有一定的数学能力以及一定的数学思想，这道题难度并不是很大。第二问的问法，我这里就不展示，给大家讲一下。今年概率统计第二问的问法非常之传统，你会发现16年那道国I，判断到底是在哪个点处期望值是最优的，同样第二问跟今年的第二问的思想是如出一辙的，这是关于国I的这道题，很多人说考完概率就炸了，其实并不炸，只要理解核心就可以了。
杨浩波：有时我们一定要透过现象看本质，不要搞一些有的没的，这些东西真的没有用。
主持人：牵扯到思维的理解。
张钢：模型的转化
杨浩波：我们现在看一下这道题想考察的是你的什么核心能力？它实际上考察的无外乎就是把语言文字转化成数学模型的能力。
主持人：怎么转呢？
杨浩波：首先这个能力其实非常重要，不光是在你做高考的概率统计题有用，比如说当你读到大学、研究生，你要写论文，你要去做研究，同样需要把语言文字转化成数学模型，最终验证你的结论，这种能力其实贯穿于你的学习过程当中。对于这一类问题我们应该怎么处理？我们不要一口吃成一个大胖子，文字很长，但实际上跟语文的断句是一样的，把一大段话分离成一小段一小段话，把每一小段话代表的那一小段的数学语言表达出来，先分类，每一段分好类，数学逻辑、数学分类做好之后，最后做一个整合。有的东西并不太难，是因为你在整体直接处理一件很难的事情，如果把很难的事情分解成很简单的事情，一一处理，你会发现难题无外乎就是如此。
主持人：化整为零。
杨浩波：先分类再整合，千里之行始于足下。其实概率统计是有一个完整的体系，你只要记住三个数字就可以：234。
张钢：概率统计有自己的一套体系，导数也有自己的一套体系，每一个核心板块都有相应不同的体系，这是我们需要抓住的东西。“234”，在座的各位一定要听清楚。
杨浩波：234，三个连续的自然数事实上就构成了概率统计这个板块的基本核心骨架。2是分别是古典概型、几何概型。3是代表三大分布，二项分布和超几何分布以及正态分布，以及最后还需要知道统计当中四个重要的图表，茎叶图、散点图、频率分布直方图、列联表，今天考了一个散点图，还有列联表，国II和国III都考了。大家记住这234，概率统计手到擒来。
关于概率统计和导数，同学们可以下载我们的乐学高考APP，高考完了之后我们数学团队会给大家带来一个非常详细的关于今年数学高考的解析。你可以下载乐学高考APP以后，找到里面主页的口令按纽，输入“乐学数学亮”这五个字，你就可以获得2018年的五折优惠券。
主持人：我们知道乐学高考的课程是以体系化、直播化的方式给同学们带来一个非常精准和有效的学习内容，这种直播也是非常方便的一种方式，同时也在权威的预测中帮助考生来把握高考的动向。作为乐学集团核心的一个产品，它是经过三年的匠心打磨，现在成为高中生的首选，注册用户突破了300万，是非常大的一个量。
知识联动带着函数视角看待数列
张钢：咱们刚才说了两道算是比较靠后的位置。我们再谈谈其他，所谓的送分题解答题的第一道题，国I考的是解三角形，给的是四边形的图案。国II、国III考的都是数列。
我一直以来跟我的学生说，数列是一类特殊的函数，最值、不等量的关系，当你带着函数视角看待数列，会发现切入点不太一样，做起题就会驾轻就熟。这是我对数列这一块知识所谓的认识。
主持人：角度跟思维还是很重要的。
张钢：没错。为什么有的同学学起高考数学来，越学越轻松，越活越通达，为什么？是因为关联，他们就是我刚才所说的，掌握了事物与实物之间的联系，把它们有机的结合在一起。做到了把一本书读薄了，那这种同学，他不轻松，谁轻松啊，是不是？今年不管是选择题对应的数列还是解答题中的数列，难度并不是很大，完全在我们的预料之中。
“转换统一”解三角
杨浩波：下面我们来谈一下三角。其实谈到三角，许多同学非常头痛。为什么？我这里先给大家讲一下。你刚学三角的时候，先从一个单位元定义三角函数，单位圆定义当中，正弦等于Y比R，余弦值该等于X比上R，这是最基本的。接着你又发现你需要接触和差角、二倍角、升幂公式、降幂公式，化三一公式，你会发现这里面公式道道特别的多。这个时候第一步你需要对这个公式做一个整体的认识，你的第一关需要把他们打通成一个整体，这是需要具备的第一个能力。
张钢：公式再多一定要知道打通合并成一个整体，以一个整体的视角看。
主持人：其实你要把知识能够内化。
杨浩波：第二个我们谈到三角就在于三角函数本身的性质，因为三角函数本身也是一个函数，函数的三大性质，比如单调性、奇偶性、周期性。三角函数能非常体现这三个性质，你需要做到关于这三个性质，就需要把三角函数和它的图像之间做成一个有机的结合，你要想到三角函数就要把图像和本身联系在一起。
张钢：性质众多，大家一定要记住和图像相结合。
杨浩波：最后谈一下解三角形。今年这道解三角形的问题，如果你平常模考做得比较多，这一类题应该是驾轻就熟，构建一个平面四边形，当中使用正弦定理、余弦定理，求相应的边。平时只要训练得足够多，拿下它没有任何问题。
张钢：解三角形至少在三角这个板块里是非常好地体现了转换统一的能力，我们要达到一个非常极致统一的状态。角、名、式尽快统一。
圆锥曲线不可怕
最后得谈一谈大家非常厌恶的圆锥曲线。圆锥曲线这个事无风不起浪，今年 新课标一卷把圆锥曲线和概率统计互调了位置，二卷也变换了位置。国I这道圆锥曲线的题目，给了一个X轴上的椭圆，它要求过右焦点F，与椭圆交于AB两个点有一根直线L，第一小问，L与X垂直的时候，AM的解析式到底是什么样。大家能看得出来第一小问，当看到直线和X轴垂直的时候，这根直线本身过焦点，这道题特别的损，损在哪儿？交于AB两个点之后，让你求AM这根直线，你不晓得A点到底是在椭圆的上边还是下边？上下所对应的直线斜率是不一样的，但难度不大。
主持人：设一坑。
张钢：对。第二小问证明角OMA和角OMB，就是涉及到一轮课程的斜率态的内容。两个角，你画出相应的几何图案，都能翻译成像几何图案的代数背景：k1+k2=0。至于K完全可以利用两点之间，Y1-Y2、X1-X2之间的比值去构造就可以了。
主持人：这就是日常非常常见的内容。不仅让我这个老高考生想起来了当年的一些数学往事。
张钢：但这道题有一个小小的细节需要同学们注意一下，当你把所谓的K1+K2=0，利用点的坐标的形式表达好之后，这里有一个X和Y的二选一，到底是消X还是消Y，这是需要较真的。我的建议是还是以直线x等于my+1，消x得y的二次方程。说实在的，只要你认真按照所谓科学系统的一个复习的策略，这些内容应该都在我们的掌控之中。
主持人：没有那么可怕
张钢：您说得太对了，没错，这是国I圆锥曲线的题目。
下面一起分享一下国II的圆锥曲线，y的平方等于4x，是一个焦点在x轴上的抛物线，涉及到焦点F。过焦点F，而且斜率为K的直线L，套弦长公式就好，第二小问，过AB两个点，与准线相切，让你判断圆。波少有自己独到的见解，可以跟大家分享一下。
杨浩波：你发现这个时候一条直线和抛物线交于两点AB，AB为直径的圆还有准线，AB中点做准线的垂线，垂足的那个点正好应该是那个圆和准线的切点，我们根据一个点，如果在圆上，这个时候这个点和圆的直线的两个端点连起来，向量的数量积为0，就可以把这道题解了，这就是一个典型的一轮课程中所说的向量态转化问题。
解析几何很“轻松”
张钢：解析几何我一直强调，大家不要背太多的奇技淫巧，给自己增加太多负担，没有必要。今年整个考风，解析几何的难度有下降，大家面对它要朴素一点，以返璞归真的态度去学习我们的圆锥曲线。我们破圆锥曲线的题目基本上是基本图形、基本思维。我们在整个破题转化相应的思路上寻求一些突破，我们在相应的计算过程、计算方法上寻求一些升级，在这种基础之上再加上一些所谓的技巧，圆锥曲线对于我们来说其实也是比较的轻松。其实张老师想说的是非常轻松，复习的过程当中一定要得法。
主持人：我们屏幕前的很多同学肯定内心都在暗暗地吐槽，两位大神在这儿从头到尾都是“轻松”两个字最高频地出现。
张钢：确实也是实话实说。大家这一年当中按照所谓的科学的系统的复习方案去走，你的感受，一年之后和我应该是一模一样的。不是说我教了十几年的书会这么去想，大家也会这么去想。
主持人：是因为也带过了很多学生，看到了大家的成长。
张钢：是这个意思。当然我们现在所说的都是解答题目，波少可以跟大家分享选填的思维。
杨浩波：选填你可以发现，有些题还比较简单，我们今天重点聊一下压轴的函数导数或者压轴的解析几何。当你处理这类压轴题的时候，是你整个学习板块知识的综合，更加考核的是你的综合能力。比如说到了11、12题，如果你做不出来就要反思，你是不是对知识的综合性没有把握好？一般考的是函数导数，但实际上是代数板块的综合，包括函数、导数、三角、数列。比如又到了16题，会出压轴的立体几何问题，考察你的空间想象能力还有相应的计算能力，还有构图能力，都非常重要，涉及到你几何板块的综合。
主持人：这个题看起来可能比较简单，但实际上难。
张钢：压轴题还是考察同学融会贯通的能力。
杨浩波：数学当中有这么一个说法，如果题干叙述得越简单，往往题就越难。哥德巴赫猜想叙述得多简单，但是现在还没有被证明。
张钢：其实还有一个板块也比较棘手，就是立体几何板块。
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