2012年安徽高考数学理21题第(2)问的深度解析
◇安ｔ 杨兴革数列是高中数学主干知识， 也是高考重点考查对象， 由于其涉及面广、 综合性强、 对思维要求高等特点， 常被用来命制压轴题． ２０ １２年安徽高考数学理科第２１题就是一道数列压轴题， 它在继承了传统数列压轴题特点（ 以等差、 比数列或可化为等差、 比数列的递推数列为模型， 结合函数。 不等式、 数学归纳法等知识综合考查）基础上加人了特殊的背景和视角， 让人有耳目一新之感， 难倒了不少师生． 本文旨在剖析第２问参考解答以揭示其背景和本质， 并在此基础上寻求此类问题的一般解法， 供教学参考．１试置及解答为便于考查分析． 下面摘引省教科院提供的题目及其第（ ２）问的略解．题目数列｛ 工． ｝满足工１—０ ， 工。 ＋ ｌ一一王： ＋ ｚ 。 ＋ ｃ（ ｎ ∈ Ｎ ’ ）（ １）证明： ｛ ｚ ． ）是递减数列的充分必要条件是ｃ ＜ Ｏ ；（ ２）求ｆ 的取值范围， 使｛ ｚ 。 ）是递增数列．Ｑ７ —Ｉ析（ ２）略解： 假设｛ ＿ ｒ ， ｝是递增数列， 由ｚ 。 ＜（ １）略．ｚ ２ ＜ ｚ ３得Ｏ ＜ ｆ ＜ １．由ｚ。 ＜ 士川一一ｚ： ＋ ｚ． ＋ ｆ 知， 对任意ｎ ≥１都有０≤ｚ。＜ 孤．①注意到√了一卫。 ＋ ， 一（ １拓ｚ。 ）（ 正一ｚ。 ）．②由①、 ②知， ｌ以ｚ 。 ＞ ｏ ， 即ｚ。 ＜ １一再，③由②及ｚ 。 ≥Ｏ 得， 对任意ｎ ≥１都有打一ｚ。 ＋ ． ≤（ １一打）“ｆ —ｚ。 ）．④反复运用④得√ｉ—ｚ． ≤（ １一正）” １（ 正一ｚ。 ）＜（ １一再）” １，⑤③、 ⑤相加得， ２√ｉ一１＜ （ １一正）” １对任意ｎ ≥１恒成立． 所以一１２以一１≤ｏ 。 ｏ ＜ ｃ≤÷．＇１下面用数学归纳法证明当ｏ ＜ ｃ≤÷时， 数列｛ ｚ 。 ｝＇是递增数列． 即证ｚ。 ＜ 正≤去（ 过程略。 值得一提的是Ｌ由ｚ。 ＜ 正≤÷推ｚ。 ＜ ， （ ｚ。 ）＜ ， （ 坛）＝ 再≤去时， 用－Ｌ了， （ ｚ ）＝ 一一＋ 上＋ ｃ 的单调性）．２解答的剖析殛背量的揭示１）缘起２０ １２年安徽高考数学理科卷总体感觉比较平实但不平淡． 有不少创新点， 理２１题是备受关注的一题， 由于参考解答推理性太强且让人有种“帽子底下蹦咄个兔子” 之感， 不免让笔者产生研究的冲动．ｚ ）解答的剖析①思路点评． 解答分２个环节：１ａ ． 寻求｛ ‘｝为递增数列的必要条件， 即ｏ ＜ ｃ≤÷；＇ｂ ． 证明所求的条件也具有充分性． 实际上， 这是解决求充要条件的一般模式． 其中环节ａ 是解答关键（ 从考后对学生的调查可看出）． 环节ａ 突破了环节ｂ基本上就能落实了．②难点分析． 环节ａ 主要是通过构建２个不等式（ ｚ。
＜ ｌ一再及万一ｚ。 ＜ （ １一正）” － ）相加来获得ｆ的范围， 而这２个不等式都是由等式②演变来的， 因此。 环节ａ 的难点体现在等式②的构建． 环节ｂ 中把证明数列｛ ｚ。 ）为递增数列转化为证明ｚ。 ＜ 正≤去， 其Ｌ中实现数学归纳法成功递推的关键是运用二次函数， （ ｚ）的单调性．３）背景的揭示从以上剖析过程可看出， 正在整个解答过程中是一个关键量， 已知的递推式也是一个关键式， 如果能揭示出它们的背景就有可能揭示出整个解答的来龙去脉， 甚至能找到一类问题的本质所在．下面从几个方面来揭示本题的背景：首先， 本题中的递推公式ｚ 。 一一ｚ ： ＋ ｚ 。 ＋ ｄ（ ｎ ∈ Ｎ ‘）是一类特殊的递推公式． 它是由二次函数１， （ ｚ ）生成的迭代关系。 因而数列｛ ｚ 。 ）被称为递归数列（ 其中ｚ 。 一。 被称为初值）， 这类数列来自高等数学中的离散动力系统理论．其次， 笔者从ｚ。 ＜ ｚ。 一， （ ｚ。 ）推出ｚ． ＜ 正中想到托是方程， （ ｚ ）一ｚ 的一个解， 即正是函数， （ ｚ ）的竺一破一突一点一点一万方数据
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