2023年北京市中考数学试卷及答案
2023年北泉市局级中等学校招生考试数学试卷
总分值120分,考试时间120分钟
一、选择题（此题共32分，每题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有丁个是符合题意的。
1.在?关于促进城市南部地区加快开展第二阶段行动方案（2023-2023）?中，北京市提出了
总计约3960亿元的投资方案。将3960用科学计数法表示应为
A.39..3..3..3.
2.―士3的倒数是
34
C.D.
43
3.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4,5,
从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为
4.如图，直线。，人被直线c所截，a//b,Z1=Z2,假设/3=40°,那么/4等于
A.40°B.50°
C.70°D.80°
5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A,在近岸
取点B,C,D,使得,,点E在BC上，并且点（第4题）
A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时
（第8题）
8.如图，点P是以0为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2,设弦AP的长为x,△
APO的面积为y,那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
二、填空题（此题共16分，每题4分）
9.分解因式：ab2-4ab+4a=
10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的解析式10
11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
假设AB=5,AD=12,那么四边形ABOM的周长为
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：t=-x-\,双曲线
y=1。在/上取点A,,过点Ai作x轴的垂线交双曲线于点Bi，
过点Bi作y轴的垂线交/于点A2,请继续操作并探究：过点A2
作x轴的垂线交双曲线于点B2,过点B2作y轴的垂线交/于点
A3，…，这样依次得到/上的点A”Al，A3,…，An.-O记
点An的横坐标为明,假设。|=2,那么a2=，“2013=:假设要
将上述操作无限次地进行下去，那么ax下熊取的值是
三、解答题（此题共30分，每题5分）
13.如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,/B=/DAE。
求证：BC=AE。
14.计算：(1-V3)°+1-V2|-°+
3x>x-2
15.解不等式组：\x+i
---->2x
16.X2-4X-1=Q,求代数式（28-3）2-（》+田“一月一产的值。
17.列方程或方程组解应用题：
某园林队方案由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工
人，结果比方案提前3小时完成任务。假设每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的
绿化面积。
18.关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根
(1)求女的取值范围;
(2)假设人为正整数，且该方程的根都是整数，求攵的值。
四、解答题(此题共20分，每题5分)
19.如图，在中，F是AD的中点，延长BC到点E,
使CE」BC,连结DE,CF»
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)假设AB=4,AD=6,ZB=60°,求DE的长。
20.如图，AB是。O的直径，PA,PC分别与相切于点
A,C,PC交AB的延长线于点D,交PO的延
长线于点E。
(1)求证：ZEPD=ZEDO
(2)假设PC=6,tan/PDA=-,求OE的长。
21.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2023年5月
18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一局部：
(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，
牡丹园面积为平方千米；
(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两
届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表)，发现园博会园区周边设置的停车位
数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小
娜的发现,请估计将于2023年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直
接写出结果，精确到百位)。
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量单日最多接待游客量停车位数量
(万人次)(万人次)(个)
第七届0.86约3000
第八届2.38.2约4000
第九届8(预计)20(预计)约10500
第十届1.9(预计)7.4(预计)约
22.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别
截取AE=BF=CG=DH=1,当NAFQ=/BGM=/CHN=NDEP=45。时，求正方形MNPQ
的面积。
小明发现：分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,
S,T,W,可得ARQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形〔如
图2〕
请答复:
(1)假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，那么这
个新的正方形的边长为；
(2)求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3,在等边AABC各边上分别截取AD=BE=CF,
再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线，得到等边
(第22题图3)
△RPQ,假设SARP°=?,那么AD的长为。
五、解答题(此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)
23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y=mx2-2inx-2(m0)与y轴交于点A,
其对称轴与x轴交于点B。
(1)求点A,B的坐标；
(2)设直线/与直线AB关于该抛物线的对称轴对
称，求直线/的解析式；
(3)假设该抛物线在—2
线/的上方，并且在2
线AB的下方，求该抛物线的解析式。
24.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(第23题)
(00
(1)如图1,直接写出NABD的大小(用含a的式子表示)；
(2)如图2,ZBCE=150°,ZABE=60°,判断4ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连结DE,假设NDEC=45°,求a的值。
25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：假设。C上存在两个点A,
B,使得NAPB=60°,那么称P为。C的关联点。
点D(1,,E(0,-2),F(273,0)
22
(1)当。O的半径为1时，
①在点D,E,F中，。0的关联点是；
②过点F作直线I交y轴正半轴于点G,使NGFO=30°,假设直线/上的点P(加，
n)是。O的关联点，求加的取值范围；
(2)假设线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
试卷解析
一、选择题（此题共32分，每题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有：个是符合题意的。
1.在?关于促进城市南部地区加快开展第二阶段行动方案（2023-2023）?中，北京市提出了
总计约3960亿元的投资方案。将3960用科学计数法表示应为
A.39..3..3..3.
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中i-:
排除5、C、O.选择A.
【点评】动点函数图象问题选取适宜的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法
二、填空题（此题共16分，每题4分）
9.分解因式：ah2—4ah+4a=
答案：a(b—2)~
解析：原式=。32一44+4）=。3-2）2
10.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0,I）的抛物线的解析式
答案：y=x2+l
解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0,经过点（0,1）即可。
11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，假设AB=5,AD=12,
那么四边形ABOM的周长为
答案：20
解析：由勾股定理，得AC=13,因为BO为直角三角形斜边上的中
线，所以，BO=6.5,由中位线，得MO=2.5,所以，四边形ABOM
的周长为：6.5+2.5+6+5=20
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：t=—X—1＞双曲线
y=-o在上取点A”过点A|作X轴的垂线交双曲线于点Bl,
过点Bi作y轴的垂线交于点A2,请继续操作并探究：过点A2
作X轴的垂线交双曲线于点B2,过点B2作y轴的垂线交于点A3,…，这样依次得到上
的点Ai,A2,AS，…，An,…。记点An的横坐标为%，假设卬=2,那么%=
。20”=：假设要将上述操作无限次地进行下去，那么为不熊取的值是
答案：——,——•0.•1
根据四（2,；）求出A3
解析：根据A（2,—3）求出用2,52
252
根据人?1］，；）求出名
32,33)
根据当卜|班求出43宿,一|）
根据求出B｛一；「3）；
根据易卜;,一3）求出A4（2,-3）:
至此可以发现此题为循环规律，3次一循环，V2013=3x670+3:
_1
,•々2013-a3，
重复上述过程，可求出q—1)、B1外,—|、A-)|—■——|、
Ia\)\a\a\)
-----B］■，-q-1］、A4(a},-6(|-1):
I%«(+1)Ia}+1«1+1)(«1+1)
由上述结果可知，分母不能为0,故为不能取0和-1.
【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，
多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.
三、解答题(此题共30分，每题5分)
13.如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE,,
求证：BC=AEo
解析：\
14.计算：(1一8)°+|-行］一2x-2
16、解不等式组：Jx+1
---->2%
I3
解析：
16.X2-4^-1=0,求代数式(2%-3)2-(>+川(彳一刃-：/的值。
解析：
17.列方程或方程组解应用题：
某园林队方案由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工
人，结果比方案提前3小时完成任务。假设每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的
绿化面积。
解析：
18.关于x的一元二次方程/+2x+2Z—4=0有两个不相等的实数根
(1)求攵的取值范围；
(2)假设上为正整数，且该方程的根都是整数，求Z的值。
解析：
四、解答题（此题共20分，每题5分）
19.如图，在£7ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E,使CE=1BC,连结DE,CF。
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形;
（2）假设AB=4,AD=6,ZB=60°,求DE的长。
解析：
20.如图，AB是。。的直径，PA,PC分别与。O相切于点
A,C,PC交AB的延长线于点D,交PO的延
长线于点E。
（1）求证：ZEPD=ZEDO
（2）假设PC=6,tan/PDA=—,求OE的长。
（第20题）
解析：
21.第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2023年5月18日在北京开幕，以下是根据
近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一局部：
（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，
牡丹园面积为平方千米；
（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八两
届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；
（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位
数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小
娜的发现，请估计将于2023年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量［直
接写出结果，精确到百位）。
第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表
日均接待游客量单日最多接待游客量停车位数量
（万人次）1万人次）（个）
第七届0.86约3000
第八届2.38.2约4000
第九届8〔预计）20（预计）约10500
第十届1.9（预计）7.4（预计）约
解析：
22.阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题：如图1,在边长为。(a>2)的正方形ABCD各边上分别
截取AE=BF=CG=DH=1,当NAFQ=/BGM=/CHN=/DEP=45。时，求正方形MNPQ
的面积。
小明发现：分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,
S,T,W,可得ARQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直南三角形〔如
图2〕
请答复：
(1)假设将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形
(无缝隙，不重叠)，那么这个新的正方形的边长为
(2)求正方形MNPQ的面积。
参考小明思考问题的方法，解决问题:(第22题图3)
如图3,在等边4ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,
AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,假设臬…字那么AD的长为
解析：
五、解答题(此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8
分)A
23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y=mx2-2/nx-2(mHO)与y轴交于点A,其对称轴与x轴
交于点B«
(1)求点A,B的坐标；
(2)设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解
析式；
(3)假设该抛物线在-这一段位于直线的上方，并且
在2
式。(第23题)
解析：【解析】〔1〕当x=0时，y=—2.
・・・A(0,—2)
抛物线对称轴为X==1
2m
：.8(1,0)
〔2〕易得A点关于对称轴的对称点为A(2,-2)
那么直线/经过A、B.
没直线的解析式为y=kx+b
2k+b=-2k=-2
那么解得
k+h=0b=2
.•.直线的解析式为y=-2x+2
〔3〕•.,抛物线对称轴为x=l
抛物体在2
结合图象可以观察到抛物线在-2Vx
在T
抛物线与直线/的交点横坐标为-1；
当x=—]时，y——2x(—1)+2=+4
那么抛物线过点〔-1,4〕
当x=-l时，m+2m-2=4,m=2
抛物线解析为y=2x2-4x-2.
【点评】此题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线/与直线
A3关于对称轴对称，
•.•抛物线在2Vx
关于对称轴对称后抛物线在这一段位于直线/的下方；
再结合抛物线在这一段位于直线/的上方；
从而抛物线必过点(-1,4).
24.在aABC中，AB=AC,ZBAC=a[0°么BC=BD,ZDBC=6O°
又；ZABE=60°
：.ZABD=60°-ZDBE=NEBC=30°--a
且△BCD为等边三角形.
在/\ABD与△ACO中
/./SABD丝ZXACD〔SSS〕
NBAD=ACAD=-NBAC=-a
22
"：ZBC£=150°
，ZfiEC=180°-(30o--a)-150°=-a
22
在ZVWD与A£BC中
^ABD丝
，AB=BE
AABE为等边三角形
〔3〕,?ZBCD=60°,NBCE=150°
ZDC£,=150°-60°=90°
又：NDEC=45。
：.ADCE为等腰直角三角形
DC=CE=BC
'：NBCE=150。
.SC=U1*5。
而NEBC=30°-,夕=15°
二«=30°
【点评】此题是初中数学重要模型“手拉手"模型的应用，从此题可以看出积累掌握常见模
型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.
25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和。C,给出如下定义：假设。C上存在两个点A,
B,使得/APB=60°,那么称P为。C的关联点。
点D（』，-）,E（0,-2）,F（2百，0）
22
（1）当。。的半径为1时，
①在点D,E,F中，。0的关联点是；
②过点F作直线交y轴正半轴于点G,使/GFO=30°,假设直线上的点P（加，
n）是（DO的关联点，求加的取值范围；
（2）假设线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。
解析：【解析】（1）①。、E:
②由题意可知，假设P点要刚好是圆C的关联点;
需要点P到圆C的两条切线和PB之间所夹
的角度为60。：
由图1可知ZAPB=60°,那么ZCPB=30°,
连接BC,那么PC=———=2BC=2r；
，假设尸点为圆C的关联点；那么需点尸到圆心的距离d满足;
由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2;
点尸到原点的距离OP=2xl=2:
过。作x轴的垂线0H,垂足为“；
tan^LOGF----=----=73;
OG2
:.ZOGF=60°:
・・・OW=°=V3;
・•//
••=---二—;
OP2
NOPh=60°;
易得点片与点G重合，过P?作P.MA-x轴于点M;
易得NgQM=30。:
。河=08330。=百；
从而假设点尸为圆O的关联点，那么P点必在线段片巴上;
(2)假设线段所上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小,
那么这个圆的圆心应在线段EF的中点；
考虑临界情况，如图3;
即恰好E、/点为圆K的关联时，习窄么KF=2KN=LEF=2:
二此时r=l；
故假设线段上户上的所有点都是某个圆的关联
点，
这个圆的半径r的取值范围为r>l.
【点评】“新定义"问题最关键的是要能够把“新定义〃转
化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开
头局部的解析，可以看出此题的“关联点〃本质
就是到圆心的距离小于或等于2倍半
径的点.
了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.
2023年北京市中考数学试题难点解析
2023年北京市中考试卷数学试题整体难度较2023年有所下降。从近四年
(2023-2023)北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数学整体大小年的规
律。2023年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。
本套试卷在保持对根底知识的考察力度上更加重视对数学思想方法和学生综合素质
能力的考察，表达了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试
说明中C级要求相照应。
一、试题的根本结构：
整个试卷五道大题、25个题目，总分120分。
其中包括选择题（共8个题目，共32分）、
填空题（共4个题目，共16分）、
解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共13个
题目，共72分〕。
1.题型与题量
选择题填空题解答题
题数分值题数分值题数分值
2.考查的内容及分布
从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学?课程标准?所列的主要知识点，并且对初中数学的
主要内容都作了重点考查。
内容数与代数图形与空间统计与概率
分值
3.每i苴题目所考查的知识点
题型题号考查知识点
1科学记数法
2有理数的概念（倒数）
3概率
选
4平行线的性质
择
5相似三角形
题
6轴对称、中心对称
7平均数
8圆中的动点的函数图像
9因式分解（提公因式法、公式法）
填
10抛物线的解析式
空
11矩形、中位线
题
12函数综合找规律（循环规律）
13三角形全等证明
解
14实数运算（0次幕、-1次幕、绝对值、特殊角三角函数）
答
15解一元一次不等式组
题
16代数式化简求值（整体代入）
17列分式方程解应用题
18一元二次方程（判别式、整数解）
解19梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）
答20圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）
题21统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）
二22操作与探究〔旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）
代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、
解23
数形结合思想、二次函数解析式确实定）
答
24几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）
题
代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、
25
数形结合）
二'命题主要特点:
第8、12、22、23、24、25题依旧是比拟难的题型，其他题型属于根底或者中档题。
近四年北京中考数学试题这几道题考查分布:
题型'年份22023
第8题
立体图形展开动点函数图象动点函数图象动点函数图象
（创新题）
图
正方形、等边三
第22题几何坐标化、
轴对称、正方形平移、等积变换角形、全等三角
（操作与探究）方程与方程组
形
［代数综合）
（代数综合）（代数综合）（代数综合）
二次函数、一次
第23题反比例函数、旋二次函数、一一次函数、二次
函数、等腰直角
（综合题）转、恒等变形次函数、一元二函数、图形对称
三角形、数形结
次方程、函数图数形结合
合
象平移、数形结
合
（代几综合）（几何综合）（几何综合）
（几何综合）
二次函数、等腰旋转、等腰直角轴对称、等腰三
第24题等边三角形、等
直角三角形、分三角形、等边三角形、倒角
（综合题）腰直角三角形、
类讨论、数形结角形、直角三角
旋转、倒角
合形、平行四边形
（代几综合）
（几何综合）（代几综合）（代几综合）
第25题一次函数、圆、
等腰三角形、轴“新定义：一次一次函数、圆、
［综合题）平行四边形、分
对称、倒角函数、圆、相似特殊直角三角形
类讨论
特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一
定难度，以表达试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。
特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整；第18题的一次函数综合
体换成了一元二次方程；第19题回归对梯形的考察；第20题第（1）问没有考察切线的证明
等。
特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之
外，其他题都较为常规，较好的表达了“稳中求变”的命题主导思想。
特点四、从试卷中最直观反响出的是阅读量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，
阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。
特点五、计算量大幅下降，去年计算题19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计
算量普遍大，但今年的19题、20题不管解题难度还是计算难度都骤降。
特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重
视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到Aj
特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题
第20题。解答题第25题都涉及圆的知识。
特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23题第三小问，重点考
察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大.
三'重难易错题目点评：
1.易错题目
易错题号错误原因
8易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像
12前2年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律(循环规律)
17分式方程应用题忘记检验
2.难题
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