中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)学校:班级：姓名：考号：．如图，点P是的直径延长线上一点，C为上一点，过点C且，平分，点E为弧的中点，连接交于点F.(1)求证：为
的切线；(2)求证：.．2．如图，是的直径，是上一点，于，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．(1)求证：是的切线；(2)求证
：；(3)若为的中点，，求阴影部分面积．3．如图，为的直径．点在圆上，是的平分线交于点，点在的延长线上，且．(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．4．如图，已知为的直径，是的切线，A为切点，C为点，连接、，且．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的长
．5．如图，是圆的直径，A在的延长线上，，弦垂直于于点．(1)求证：为圆的切线；(2)若，，求圆的半径及的值．6．如图，为的直径，
E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．?(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径长．7．如图
，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作，垂足为的延长线交于点N．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若，求的长．8．如
图，是的内接三角形，为的直径，点D在的延长线上，连接，满足．(1)证明：直线是的切线；(2)若，，求的半径．9．如图，在中，弦与弦
互相平行，在上取一点，使得，过点作交延长线于点．(1)求证：；(2)求证：为切线；(3)若，求证：．10．如图，已知是的外接圆，是
的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．?(1)求证：是的切线；(2)若，求的长．11．平行四边形的对角线相交于点M，
的外接圆交于点E且圆心O恰好落在边上，连接，若．(1)求证：为切线；(2)求的度数；(3)若的半径为1，求的长．12．如图，在中，
，延长到点D，以为直径作，交 的延长线于点E，延长到点F，使．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，，求的长．(3)在（2）的条
件下，求的长.13．如图，为的直径，为上一点，且点，不重合，为外一点，，连接，，连接交于点，交于点，连接．(1)当时，求证：为的切
线；(2)在（）的条件下，连接交于点．当，时，求线段的长．14．如图1，为直径，与相切于点B，D为上一点，连接、，若．?(1)求证
：为的切线；(2)如图2，过点A作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长．15．如图，已知内接于，点D在的延长线上，．(1)求证
：是的切线(2)若，求的半径．16．如图，已知等腰平分，以为直径作，交于点E，交于点F．(1)求证：是的切线；(2)连接与交于点P
，若，①求的长；②求的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交
AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作☉O，恰好过点E．(1)求证：AC是☉O的切线；(2)若CD=12，tan∠ABC=
，求☉O的半径．18．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于．?(1)求证：是的切线；(2)若，，则．19．如图，已知是的直径
，于点B，D是上异于A、B的一个动点，连接，过O作交于点C．?(1)求证：是的切线；(2)，求．20．已知：如图，在中，弦垂直直径
，垂足为，点在直径的延长线上，平分．?(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．21．如图，在中，，以为直径的分别交于点，点在的延
长线上，且．?(1)求证：直线是的切线；(2)若,求线段的长．22．如图，已知是中边上的高，以为直径的分别交于点，点是的中点．．?
(1)求证：是的切线；(2)求的值．参考答案：1．【分析】此题考查了证明直线是圆的切线，相似三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌
握切线的判定定理和相似三角形的判定定理是解题的关键．（1）连接，利用角平分线及圆的半径相等推出，得到，进而推出，即，即可得到结论；
（2）由为的直径得到，推出，利用点E为弧的中点，得到进而得到，证得；再证明，即可得到结论．【详解】（1）如图，连接，∵平分，∴，∵
，∴，∴，∴，∴，即，∴为的切线；（2）∵为的直径，∴，∴∴，∵点E为弧的中点，∴∴，∴∴；∵，∴∴，∴．2．(1)见解析(2)见
解析(3)【分析】（1）根据，得，进而可得，于是得到结论；（2）根据，证，从而可得，由此即可证明结论； （3）根据题意可得，进而根
据，即可求解．【详解】（1）证明：∵，，，，，，，，，又是的半径，是的切线；（2）证明：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（
3）∵为的中点，，∴，，∴，∴，∵是的切线；∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，解
直角三角形，关键是利用圆周角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．3．(1)见解析(2)12【分析】（1）连接，，由等边对
等角结合对顶角相等可得，由圆周角定理结合角平分线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理可得，从而得出，再由等边对等角得出，即可得
证；（2）由圆周角定理可得，证明可得，从而得到，求解即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，，，为的直径，，是的平分
线交于点，，，，，，，，即，为半径，是的切线；（2）解：如图， ，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了
切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
4．(1)见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的
半径．也考查了圆周角定理．（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用等腰三角形的性质得到，，所以，然后根据切线的判定得到结论；
（2）连接，先利用等腰三角形的性质求得，再根据切线的性质求得，根据圆周角定理得到，最后根据弧长公式得到的长．【详解】（1）证明：连
接，如图，与相切于点，，，，，，，，即，，是的切线；（2）解：连接，如图，是的直径，，∵，，∴，，，∵，∴，的长．5．(1)证明见
解析，(2)3，【分析】本题综合考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）连接，证明，得出，进而推出，即可证明，即可得出结论；（2）根据的比例关系，可用未知数表示出的表达式，进而可得的表达式；在中，
由勾股定理得：，再根据，得出，即有，进而可得，即可求出圆的半径，以及的值．【详解】（1）证明：连接，如图所示：弦垂直于于点，，又，
即，为圆的切线；（2）解： 设则，；在中，由勾股定理得：；由（1）中可知，即，解得（舍去），，，．6．(1)见解析(2)5【分析】
（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可；（2）根据相似三角形的判定和性质，勾股定理即可求出直径的长
，进而求出半径即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∵点C是的中点，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半径，∴是的切线；?（2
）解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半径为5．【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的
性质以及相似三角形，掌握切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．7．(1)见详解
(2)见详解(3)【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；（2
）通过证明，可得，可得结论；（3）由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可得，即可求解．【
详解】（1）如图，连接，∵是直径，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵是半径，∴是的切线；（2）．（3），【点睛】本题是圆的综合题，
考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度
是本题的关键．8．(1)见解析(2)的半径为【分析】（1）本题考查切线的判定，证明即可；（2）本题考查圆和相似三角形的相关知识，通
过证明，根据相似边成比例和勾股定理建立方程，解方程求出的值，再根据勾股定理求出直径，即可求得答案．【详解】（1）解：∵为的直径，∴
，?∴，∵，∴，?∴，即，又为半径，∴为的切线．（2）解：设，∵，，∴， ∴，∴，即， 在中，，∴，解方程得：，（舍去），∴，∴∴
∴的半径为．9．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质；（1）因为，所以，根据同
弧所对的圆周角相等，即可作答．（2）连接根据和半径相等，得，结合平行线的性质，，即可作答．（3）先根据同弧所对的圆周角相等以及平行
线性质，得．证明，因为且，所以，即可作答．【详解】（1）解：连接如图∵弦与弦互相平行，∴∵，∴∴；（2）解：连接记与的交点为，连接
并延长交于与点H，如图：∵，∴，∵， ∴，∴，∵点O到点A和点E的距离相等，即∴直线是线段的中垂线，即，∵，∴，∵是半径，∴为切线
；（3）解：由（2）知，连接∵∴∵∴∵∴∴即∵∴故【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质和判定，综合
性强，难度大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．10．(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判
定和性质．（1）要证是的切线，只要连接，再证即可；（2）由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最
后由全等三角形的判定与性质可得答案．【详解】（1）证明：连接；∵，又，∴．∵，∴，∴．∴．∴．又是的半径，∴是的切线．；（2）解：
∵，∴，，∵，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．11．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到，根据圆
周角定理得到，根据平行线的性质得到，即可得到结论；（2）连接，根据平行四边形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到；
（3）连接，过作于，根据等腰三角形的性质得到，则，所以，，，再证，得，即可求解．【详解】（1）证明：连接，∵四边形是平行四边形，∴
，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的半径，∴为切线；（2）解：连接，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：连接，过作
于，∵，∴，则，∴，，∴，∵是直径，∴，则，∵，∴，∴∴，∴，负值舍去．【点睛】本题考查了圆的综合题，需要掌握切线的判定，圆周角定
理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．12．(1)见解析
(2)(3)【分析】（1）连接，根据，，可得，，再根据，，可得，即有半径，问题得证；（2）连接，过O点作于点，利用垂径定理可得，，
即：，再证明，即有；（3）设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解．【详解】（1）连接，如图，∵，，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴半
径，∴是的切线；（2）连接，过O点作于点，如图，∵，，，的半径为5，∴，，即：，∵，，，∴，∴，（3）设，即，∵，，∴在中，有；在
中，有∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线
的判定与性质是解答本题的关键．13．(1)见解析；(2)．【分析】（）连接，根据“”证明，由性质得出，又得，再根据角度和差即可；（
）根据正切值设出未知数，再通过相似得到边的数量关系，列方程求解，再证明相似得到边的数量关系直接求解即可；此题考查圆的切线和相似三角
形，解题的关键是灵活使用三角函数值，设出未知数，然后根据相似得到边的数量关系列方程求解．【详解】（1）证明：如图，连接，在与中，∴
，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴AO⊥AP，∴为的切线；（2）∵，，设，，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，
∴，，，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．14．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用切线及平行线性质证得，从而
求得，由此证明为的切线；（2）过点E作于M，设，由切线长定理及勾股定理列方程求得和的长，然后结合相似三角形判定与性质求得的长．【详
解】（1）证明：连接，∵与相切于点B，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又为半径，∴为的切线；（2）解：设，∵，∴为的切线，∴、为的
切线，∴，∴，过点E作于M，则，?∴，解得，∴，∴，∵是直径，且，∴，又∵，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质、全
等三角形及相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道综合性较强的题目．15．(1)详见解析，(2)5.【
分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，求出，即可求出，根据切线的判定推出即可；（2）推导出三角形为等边三角形，求出，即可求出答案．
【详解】（1）是的切线，理由如下：连接OA，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∴点A在上，∴是的切线．（2）∵，∴，∴是等边三角形，∵，∴
垂直平分，∴，∴，即的半径为5．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理，切线的判定的应用等知识点，熟练掌握
切线的判定与性质是解本题的关键．16．(1)见解析(2)①10；②3【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质即可证明；（2）①连
接，由切线性质及等弧所对的圆周角相等，可得，则，由勾股定理可求得，进而求得直径；②由可得三角形相似，则可求得的长，可判定是等腰直角
三角形，则也得是等腰直角三角形，即可求得的长．【详解】（1）证明：∵平分，∴；∵是的半径，∴是的切线；（2）解：①连接，如图，∵是
的切线，是的直径，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴；在中，由勾股定理得，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，
∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角为直角，切线的判定与性质，等腰三角
形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，题目不难，但涉及的知识点较多．17．(1)见解析；(2)．【解析】略18．(1)
证明见解析(2)【分析】（1）连接、，根据等腰三角形的性质可得是的中位线，进而可得是的切线；（2）根据30度角的直角三角形的性质即
可得结果．【详解】（1）证明：连接、，?为的直径，，，点是的中点，是的中点，是的中位线，，，，，是的切线；（2）解：在中，，，．故
答案为：．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，圆周角定理，解决本题的关键是综合
运用以上知识．19．(1)见解析(2)．【分析】本题主要考查了切线的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识．（1）连
接，由得，根据平行的性质可得，，进而可得，再证明，可得，问题得证；（2）在中，求得，证明，求得的半径，在中，求得，证明，利用相似三
角形的性质列出比例即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，?由得：，∵，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，又∵D在上，∴是的切线
；（2）解：由（1）得，，∵，∴，∵CBAB，∴，∵在中，∴，∵是切线，∴，∴，∴，∴，即，∵在中， ∴，∵，∴，∴，即，∴．20
．(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接，根据等边对等角得，根据角平分线的定义得，根据垂直的定义得，证明即可；（2）如图，
设，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理建立关于的方程，求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，∴，∴，∵平分，∴，∵在中，弦垂
直直径，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，是的切线；?（2）解：如图，设，∵在中，弦垂直直径，，，∴，，，∵在中，，∴，解得：，∴的长为
．【点睛】本题考查切线的判定，垂径定理，等角对等边，勾股定理，垂直的定义及判定，角平分线的定义．解题的关键是连接半径、利用勾股定理
建立方程．21．(1)详见解析(2)【分析】（1）本题主要考查切线的证明，连接，利用直径所对圆周角是直角，可以推导，在结合等腰三角
形的三线合一性质，可以推导出，最终导角可以证明，最后证明切线．（2）本题主要考查利用三角函数在圆中解三角形，灵活转化已知角到直角三
角形中去是解决问题的关键，连接，可以利用三角函数，求得，在连接，在中利用等面积法可求长，进而求出的值，最终解直角三角形，即可直接求
解长．【详解】（1）证明：连接；∵是直径；∴；∵；∴；∴；∵；∴；∵;∴；即；∴直线是的切线．?（2）解：连接；∵是直径；∴；∵；∴；在中；；∵；∴；∴；在中，由勾股定理得；∵；∴在中；；∴；∴；在中；；在中；；∴；?22．(1)见解析(2)．【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，余弦函数的定义，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．（1）连接、，利用圆周角定理得到，再根据直角三角形的性质求得，推出，据此计算得到，即可得证；（2）证明，推出，求得，，利用勾股定理求得，，再利用余弦函数的定义即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接、，∵是的直径，∴，∵G是的中点，∴，∴，∵，∴，∴.即，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，符合题意∴，∴，，∴．第 2 页 共 42 页第 1 页 共 42 页学科网（北京）股份有限公司第 2 页 共 42 页第 1 页 共 42 页学科网（北京）股份有限公司
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