1978年全国高考数学试题及其解析
11978年全国高考数学试题及其解析注意事项:1。理工科考生要求除作（一）——（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题。文科考生要求作（一）——（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题。2。考生解题作答时,不必抄题。但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等。（一）1。分解因式:x2-4xy+4y2-4z2。2。已知正方形的边长为a。求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积。（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数。对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图。（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点。求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN。（四）已知=a(a≠2),18b=5。求。（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0。（七）（文科考生不要求作此题）2已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）。(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上。画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论。(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等。试题答案及解析（一）1。解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)。2。解:设直圆柱体的底面半径为r。则底面周长2πr=a。3。解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1。x≥-1为所求的定义域。3（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致。）（三）证明:1)连CA、CB,则∠ACB=90°。∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）,∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,∴∠ACM=∠ACD。∴△ACM≌△ADC。∴CM=CD。同理CN=CD。∴CD=CM=CN。2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴CD2=AD·DB（比例中项定理）。由1),可知AM=AD,BN=BD,∴CD2=AM·BN。（四）解法一:∵=a,∴18a=9。
4又18b=5,∴45=9×5=18a·18b=18a+b,设=x,则36x=45=18a+b,∴=+b但36=2×18=4×9,∴log18(2×18)=log18(22×9)。即1+=+=+a。∴=1-a。以下解法同解法一。（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C。∴3B=180°,B=60°,A+C=120°。5以下同证法一。（七）解:(1)用配方法得6此即各抛物线顶点坐标所满足的方程。它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3。它们的顶点都在直线l1上。(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线。与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解。消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0。∴(x+m)2=1-a。因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a1时,直线l与抛物线不相交。即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°。∵直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关。因此直线l被各抛物线截出的线段都相等。
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