浅谈上海高中数学与其他地区的不同
（p.s. 本文不讨论上海高考和全国其他省份高考的难度，只讨论题目本身）我们都知道上海卷向来被认为全国最简单的高考数学卷，但其实在题目简单的背后却蕴含着一点也不简单的深刻思想。
今天我们就来谈谈上海卷与全国卷到底有哪些不同？
一.考点本身不同（最为人熟知的不同）
上海不考导数、回归方程、数学期望、随机变量、离心率、极坐标等
全国不考行列式、矩阵、参数方程（选修除外）
由此可见，上海学的知识点是远远少于其他地区的，直到2020、2021年，上海才将导数加入教材中。
在我看来，上海不学导数的原因是：
导数是高等数学的知识，其在高中阶段的知识范围较小，深度较浅；
导数压轴题的技巧性较强，常常结合不等式放缩和数据的配凑，这不是上海考察的重点；
避免学生过度依赖导数，或者更深层的洛必达、中值定理、泰勒展开（微积分）等内容，从而削弱他们对初等数学能力的训练以及对函数基本性质的理解；
二.命题模式（题型分布）不同：（最直观的不同）
上海命题模式为：
23题制： 14道填空+4道选择+5道大题（2009-2016）
21题制：12道填空+4道选择+5道大题（2017-）
全国命题模式为：（除新全国卷外）
23题制： 12道选择+4道填空+5道大题+2道选考
三.考察的数学能力不同：（最主要的不同）
上海注重考察思维分析和数学本质的理解，弱化了计算，甚至允许用计算器解决一些复杂数字的题目。
（当然高考的话一般计算器只用于纯数字的数据计算和压轴题赋值取点，其他题基本用不到；
如果有时间我会专门出一期关于神器的使用教学专栏doge）
这种指导方向促成了上海题。因此上海在简单题和中档题在难度上都低于全国卷，几乎都不用怎么计算；最重要的是：填选压轴题同样不用大量计算！！这是上海卷与全国卷的一个非常显著的区别。
考察的能力不同导致了上海和全国对相同知识和相同题型采取了不同的考法：
上海题简单题一般可以一两步出答案，不用太多思考，但压轴题往往思考量会骤增，但是回望10年上海卷，几乎所有填选的压轴题都能找到一种巧妙而不超纲的方法，将题干转化，在几步之内解决。
举几个填选的栗子：
（e.g.1）2020上海高考填空压轴
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2020上海高考12题
我们只要读懂题，理解i，j和k的含义，画两个圆，数一数它们的交点，题目答案就出来了（6个交点，k=6）
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k就是两个圆的交点个数
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（e.g.2） 2019上海高考填空压轴两题：
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2019上海高考填空11,12题
先看11题：
本题如果按照传统的带入数列通项直接求的话计算量是比较大的
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解法一
但是只要我们读懂题意，发现极限的集合含义，即|PnPn+1|在n趋于无穷时，其斜率无线趋近双曲线的渐近线斜率，于是题目迎刃而解
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解法二
附上图片：
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观察可以发现，|PnPn+1|斜率无线趋近1/√3
再来看第12题：
本题如果按照正常的设点，联立方程，将会十分复杂：
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方法一：设点逐步求解
当我们回过头好好体会这题时，我们发现，这题的图像是反比例函数，因此两条渐近线又发挥了作用
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方法二：利用极限法妙解
当然还可以通过图像的对称性解决：
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方法三：利用反比例函数旋转对称性妙解
如图，绿色的一支绕点A顺时针旋转90°可以得到红色的一支，所以a=2/a,即a=√2 !
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这些题的切入点都十分巧妙，但完全没有超纲，上海这类压轴题考察的是数学推理能力、直观想象能力、数形结合的能力与命题转化的能力，注重考察数学的本质内涵和数学知识的内核，是十分综合的考察方式。
上海卷的出卷人并没有把计算能力看的很重，甚至近几年有些解析几何几乎都不需要联立方程，完全打破了我们对于圆锥曲线计算量大，数据繁杂的认识（2019上海春考抛物线大题，2020上海高考双曲线组合曲线大题，这两道几乎不用联立；感兴趣的话下次给大家分享233）
四.上海的题目具有一定的美感：（最灵性的不同，纯属个人看法）
我认为上海题是讲究美感和艺术的，无论是2013年13题祖暅原理的转化美，还是2018年16题、2009年14题、2019年12题的函数旋转美，亦或是2020年12的几何对称美，2020春考12的函数运动对称美等等......都体现了数学本质的美感，都是通过一个个精妙的数学现象背后发掘出来的美感。
五.做题时的感受不同：（最主观的不同）
我总结了做全国/江浙卷和上海卷压轴题感觉上的不同
*做全国或江苏浙江的难题，就像打一场拳拳到肉的拳击，每一拳都必须打在对方的薄弱之处，有时还需要变换战术；你知道对方很强，所以必须竭尽全力，用之前刻苦训练的方法结合自身无与伦比的硬实力，才能将对手击败。解出来后会有种经过艰苦搏击后终于将对手击倒的解脱感与成就感。（解几、导数压轴，可以通过总结类型、方法加以练习，找到一些方法）（血量厚）
*做上海的难题，就像夜晚森林中两个狙击手的对决，你在几乎全黑的环境下，不知道对方身在何处，直到把周围环境观察了10遍后，你找到合适的角度和地形，借着月光，你猛然间发现了对面反光镜的闪光，你毫不犹豫扣动扳机，将敌一击毙命。解出这种题会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”、“初极狭才通人，复行数十步，豁然开朗”的奇妙感觉，你并没有使出多少招数，但就是那致命一击，打败了。
*比喻2：做上海题就像与灵活的boss决斗，它有着近乎完美的防御，你用尽脑袋里所有能想到的方法却对它毫无作用，终于在你把boss全身观察十遍之后，终于发现了boss的弱点，你拿着手中的剑给了它致命一击。
*比喻3：做上海题也好像打太极，讲究一个化劲，四两拨千斤；如果用搏击的方式做上海题，你会感觉打在一团棉花上，使不上力，代数式越来越长，你却无法化简。
（上海压轴，每一题几乎都是新题型，难以总结通解通法，需要大量做题后举一反三，思考题目本质，再加上对于数与形的敏感度）（你不能用拳击手的方法来与狙击手搏斗，否则会暴露目标而被打败；别看做上海题只发射了一颗子弹，其实脑中已经对几十种情形做过了分析）（防御、闪避高）
在我看来上海题的题虽然简单，但是绝对是全国出得最有深度、创造力与含金量也是最接近数学本质的之一，尤其是填空选择，经常能够找到一种巧妙但不偏不怪的方法将其快速解决。
（p.s.:快速解决不完全等于秒杀，秒杀通常指从高处往低处看，用更nb的二级甚至三级结论或者超纲知识得到答案；而快速解决既没有超纲也没有套路，它是通过对题目的分析找到合适的方法）（秒杀举例：阿氏圆模型、单峰平口模型、切比雪夫/曼哈顿距离、极点极线、各种冗长的离心率公式...）
这篇文章也是想要改变大家对于上海题的一些看法，希望大家能领会到上海题独特的魅力和背后隐藏的数学本质之美~
下篇文章将介绍上海压轴大题与其他地区的不同与特殊之处~
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