大道至简勾股数——2022年温州中考数学第24题
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我们在八年级学习完勾股定理后，总会对几个特殊的勾股数印象颇深，随口能说出勾三股四弦五的大有人在，也有个别显摆的学生会接下句“6，8，10”，“5，12，13”等；在九年级学习三角函数时，我们很惊喜地发现，勾股数又来了，原来所谓特殊直角三角形，含义不仅限于30°角，45°角，还有特殊边长比，尤其是有理数比值。
再结合相似三角形知识，对“勾三股四弦五”便有了新的用法，只要找出这类直角三角形，三边之比满足3：4：5，那么已知其中任一边，均可表示另两边。这种方法通常存在一个突破口，即有一个已知三边比为3：4：5的直角三角形，然后有若干个与之相似的三角形，或构造出这样的三角形，利用边长比值，可迅速求边长。
题目
如图1，AB为半圆的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC=5，BE=3，点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足AP：BQ=5：4，设BQ=x，CP=y.
(1)求半圆O的半径；
(2)求y关于x的函数表达式；
(3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连接PQ，RQ
①当△PQR为直角三角形时，求x的值；
②作点F关于QR的对称点F'，当点F'落在BC上时，求CF':BF'的值.
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解析：
(1)CD是半圆切线，连接OD，可得OD⊥CD，如下图：
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而BC=5，BE=3，BE⊥CD则明确告知Rt△BCE是一个三边分别为3，4，5的直角三角形，显然△OCD∽△BCE，下面开始勾股数的表演，sinC=3/5=OD/OC，而OD=r，OC=5-r，列方程3/5=5/(5-r)，解得r=15/8；
(2)由AP/BQ=5/4，得AP=5x/4，而CP=CA+AP=5x/4+5/4，所以y=5x/4+5/4；
(3)①由于P、Q均不与端点重合，所以∠PRQ不可能直角，剩下两种情况：
第一种，∠RPQ=90°，如下图：
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我们很容易得到PQ∥CE，于是△BPQ∽△BCE，根据三边之比为3：4：5可表示出BP=5x/3，而BP+CP=5，列方程5x/3+(5x/4+5/4)=5，解得x=9/7；
第二种，∠RQP=90°，如下图：
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首先表示出EQ=3-x，Rt△CPR三边之比也为3：4：5，故可表示CR=4/5CP=4/5(5x/4+5/4)=x+1，于是ER=4-(x+1)=3-x，发现ER=EQ，即等腰Rt△ERQ，同时发现△RPQ也是等腰直角三角形，于是RQ=√2(3-x)，RP=√2RQ=2(3-x)，又回到Rt△CPR中，RP/CR=3/4，列方程2(3-x)/(x+1)=3/4，解得x=21/11；
综上所述，x=9/7或21/11；
②由前一问的探索，得到Rt△ERQ始终是等腰直角三角形，而F'与F是关于RQ对称的，我们连接F'Q，由对称性可知∠F'QR=∠FQR=45°，所以F'Q⊥BE，又出现了Rt△BF'Q，且与△BCE相似，连接AF，得到Rt△ABF，同样与△BCE相似，如下图：
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现在我们可以表示出BF'=5x/3，QF'=4x/3=QF，得BF=7x/3，再由Rt△ABF三边之比为3：4：5，求得AB=35x/9，第一问中已经求出了半径，现在可列方程35x/9=15/4，解得x=27/28，所以BF'=45/28，CF'=95/28，最后求得比值CF':BF'=19:9；
解题反思
本题解法众多，构造全等、相似均可达到目的，之所以选择勾股数作为突破口，主要是因为计算快捷，熟记3：4：5，识图时看准长短直角边和斜边，解题效率会大幅提升。
从试题结构来看，条件BC=5，BE=3，BE⊥CD便已定下基调，一大波“勾三股四弦五”正在赶来，无论第一问中的连接OD，还有第二问中的两种Rt△PRQ，以及最后一问中连接AF、F'Q，均成功构造出这一特殊边长比的直角三角形，如此众多的特殊直角三角形，通过边长互相关联，可列方程，可求长度，结论并不难寻。
我们在复习备考时，最重要的任务，是将所学知识融会贯通，建构起一个知识体系，课时复习、单元复习、阶段复习、总复习分别代表融合的范围和深度，学段不同，复习侧重点不同。以本题为例，我们可在九年级解直角三角形时，将前面的勾股定理、相似三角形结合起来，通过一题多解等形式，让学生从不同角度去感受每个知识点在解决同一问题时的作用，也可在复习相似三角形时，融入勾股定理和三角函数，这些知识绝不仅限于几何综合，在函数压轴题中，它们的身影更是随处可见。
学生解题，最需要老师引导的，是为什么这样做，或者说如何想到，我们在平时教学中，不妨在引导思路的环节多一点耐心，多给一点思考的时间，同时多观察学生，敏锐地发现学生思维中的断点，细致讲解，假以时日，终能领悟。
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