江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题
江苏省常州市五年（2018-2022）中考数学真题题型知识点汇编：07解答题压轴题一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2018?常州）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．二．反比例函数综合题（共1小题）2．（2021?常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝ ；当m＝3，n＝3时，l＝ ；②通过归纳猜想，可得l的最小值是 ．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．三．二次函数综合题（共2小题）3．（2021?常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作?DEGF．（1）填空：k＝ ，b＝ ；（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S?DEGF，求OD的长．4．（2019?常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝ ；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．四．圆的综合题（共3小题）5．（2022?常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．6．（2020?常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 （填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．7．（2019?常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆： ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．五．几何变换综合题（共1小题）8．（2021?常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 （填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 ；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．参考答案与试题解析一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2018?常州）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为：﹣2，1；（2）＝x，方程的两边平方，得2x+3＝x2即x2﹣2x﹣3＝0（x﹣3）（x+1）＝0∴x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1，当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程＝x的解是x＝3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP＝，CP＝∴+＝10∴＝10﹣两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2整理，得5＝4x+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．答：AP的长为4m．二．反比例函数综合题（共1小题）2．（2021?常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C、D，E是AB的中点，连接CE．已知AD＝a，BD＝b（0＜a＜b）．①分别求线段CE、CD的长（用含a、b的代数式表示）；②比较大小：CE＞CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M、N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，横坐标分别为m、n．设p＝m+n，q＝，记l＝pq．①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1；②通过归纳猜想，可得l的最小值是 1．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．【解答】解：（1）①如图1中，∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∴CD2＝AD?DB，∵AD＝a，DB＝b，CD＞0，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝AB＝（a+b），②∵CD⊥AB，∴根据垂线段最短可知，CD＜CE，即（a+b）＞，∴a+b＞2，故答案为：＞．（2）①当m＝1，n＝2时，l＝；当m＝3，n＝3时，l＝1，故答案为：，1．②猜想：l的最小值为1．故答案为：1．理由：如图2中，过点M作MA⊥x轴于A，ME⊥y轴于E，过点N作NB⊥x轴于B，NF⊥y轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作JG⊥y轴于G，JC⊥x轴于C，则J（，），∵当m≠n时，点J在反比例函数图象的上方，∴矩形JCOG的面积＞1，当m＝n时，点J落在反比例函数的图象上，矩形JCOG的面积＝1，∴矩形JCOG的面积≥1，∴?≥1，即l≥1，∴l的最小值为1．三．二次函数综合题（共2小题）3．（2021?常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）和二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象都经过点A（4，3）和点B，过点A作OA的垂线交x轴于点C．D是线段AB上一点（点D与点A、O、B不重合），E是射线AC上一点，且AE＝OD，连接DE，过点D作x轴的垂线交抛物线于点F，以DE、DF为邻边作?DEGF．（1）填空：k＝，b＝1；（2）设点D的横坐标是t（t＞0），连接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；（3）过点F作AB的垂线交线段DE于点P若S△DFP＝S?DEGF，求OD的长．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）经过A（4，3），∴3＝4k，∴k＝，∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（4，3），∴3＝﹣×42+4b+3，∴b＝1，故答案为：，1．（2）如图1中，过点E作EP⊥DF于P，连接EF．∵四边形DEGF是平行四边形，∴∠G＝∠EDF∵∠EGF＝∠EFD，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∵EP⊥DF，∴PD＝PF，∵D（t，t），∴OD＝AE＝t，∵AC⊥AB，∴∠OAC＝90°，∴tan∠AOC＝，∵OA＝＝5，∴AC＝OA?tan∠AOC＝，OC＝AC÷＝，∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，∵tan∠ACO＝，∴点E的纵坐标为3﹣t，∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，∴＝3﹣t，解得t＝或（舍弃）．∴满足条件的t的值为．（3）如图2中，因为点D在线段AB上，S△DFP＝S?DEGF，所以DP＝2PE，观察图象可知，点D只能在第一象限，设PF交AB于J，∵AC⊥AB，PF⊥AB，∴PJ∥AE，∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，∵D（t，t），F（t，﹣t2+t+3），∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，∵OA＝5，∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，整理得9t2﹣59t+92＝0，解得t＝或4（4不合题意舍弃），∴OD＝t＝．4．（2019?常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝2；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝0解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y＝﹣+，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣t+）＝﹣t+，NH＝﹣t+∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t＝﹣t+解得：t1＝，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°∴BD＝＝∴cos∠OBD＝∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝PE在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ?PQ，S△QRB＝BQ?QR∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣∴点G横坐标为﹣设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+∵PQ＝2QR∴PQ＝PR∴PE＝?PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR∴PE＝2?PF，即2PE＝5PF∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）∴P（﹣，﹣）综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．四．圆的综合题（共3小题）5．（2022?常州）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．【解答】解：（1）∵AB是直径，直径所对的圆周角是直角，∴△ABC是直角三角形，故答案为：直角；（2）如图，四边形EFHG或四边形EFG′H即为所求．（3）小明的猜想正确．理由：如图2中，当点C靠近点A时，设CM＝CA，AN＝CB，∴＝，∴MN∥AB，∴＝＝，∵AB＝12cm，∴MN＝4cm，分别以M，N为圆心，MN为半径作弧交AB于点P，Q，则四边形MNQP是边长为4cm的菱形．如图3中，当点C靠近点B时，同法可得四边形MNQP是菱形．综上所述，小明的猜想正确．6．（2020?常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ?PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为10；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB?DE＝2×5＝10，故答案为：D，10．②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝，∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ?PH＝2×3＝6．（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN?NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．7．（2019?常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：2；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：1+；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为2，故答案为2．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC＝＝＝∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，∴这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）．∴点C所在的区域的面积为S1+S2＝π﹣2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．设M点坐标为（x，2）（x＞0），由题意可知：AC＝d，MC＝1，由图象可知：AM﹣MC≤AC≤AM+MC，又∵对于⊙M上任意点C，5≤d≤8恒成立，∴AM﹣MC≥5，AM+MC≤8，∴6≤AM≤7，在Rt△AMT中，根据勾股定理得：AM2＝MT2+AT2＝22+（x+1）2，∴62≤22+（x+1）2≤72，∴32≤（x+1）2≤45，∵x＞0，∴4≤x+1≤3，∴4﹣1≤x≤3﹣1，∴满足条件的点M的横坐标的范围为4﹣1≤x≤3﹣1．当点M在y轴的左侧时，同理可得，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3+1≤x≤﹣4+1．综上所述，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3+1≤x≤﹣4+1或4﹣1≤x≤3﹣1．五．几何变换综合题（共1小题）8．（2021?常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是 B（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0）；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）如图1中，①如图1中，取点T（0，2），连接MT，BT，∵M（﹣2，0），B（2，0），∴OT＝OM＝OB＝2，∴△TBM是等腰直角三角形，∴在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是点B，故答案为：B．②取点T（0，﹣1），连接MT，PT，则△MTB是等腰直角三角形，∴线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是 （﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．（2）如图2﹣1中，当M，Q是互相关联点，设Q（m，﹣2m+1），△MTQ是等腰直角三角形，过点Q作QH⊥y轴于H，∵∠QHT＝∠MOT＝∠MTQ＝90°，∴∠MTO+∠QTH＝90°，∠QTH+∠TQH＝90°，∴∠MTO＝∠TQH，∵TM＝TQ，∴△MOT≌△THQ（AAS），∴QH
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