甘肃省兰州市2024届中考数学试卷(含答案)
甘肃省兰州市2024届中考数学试卷注意事项：1.全卷共120分，考试时间120分钟．2.考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在试卷及答题卡上．3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的绝对值是（）A。B。C。D。2。已知∠A＝80°，则∠A补角是（）A。100°B。80°C。40°D。10°3。2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值元．数据用科学记数法表示为（）A。B。C。D。4。计算：（）A。aB。C。D。5。一次函数的图象不经过（）A。第一象限B。第二象限C。第三象限D。第四象限6。如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是（）A。同位角相等，两直线平行B。内错角相等，两直线平行C。同旁内角互补，两直线平行D。对顶角相等7。如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（）A。B。C。D。8。七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是（）A。B。C。D。9。
关于一元二次方程有两个相等的实数根，则（）A。B。C。D。10。数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）A。B。C。D。11。如图，在中，，，，则（）A。B。C。D。12。如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（）A。B。C。D。二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13。因式分解．14。如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则．15。“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则．16。甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17。
计算：．18。解不等式组：19。先化简，再求值：，其中．20。如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）当时，求的面积．21。如图，在中，，D是的中点，，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长．22。在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：水平距离27竖直高度03。。043。24（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．23。观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接；②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D；④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角．操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，，请画出以点A为顶点的直角，记作；推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：证明：，与是等腰三角形．．（依据）．，（依据），．依据1：；依据2：；拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作，使得直角边（或）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）24。
为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下．信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下．分组人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）．根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：；（2）下列结论正确的是；（填序号）①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；③在信息三中，相比于点A所代表学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．25。单摆是一种能够产生往复摆动装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）实验图示解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）参考数据：，．26。
如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．27。综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．28。在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”．（1）如图1，已知图形：线段，，，在中，是图形的“延长2分点”；（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
参考答案1-5：-10:-12:BC13。14。215。10816。①②##②①17。解：原式．18。解：由①，得：；由②，得：；∴不等式组的解集为：．19。，解：原式；当时，原式．20。（1），（2）（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点，∴，，∴，，∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：．（2）∵，∴，∵轴于点C，交一次函数的图象于点D，∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4．∴，∴，∴过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，∴，点E的纵坐标为，∴，把代入，得，∴，∴点，∴，∴21。（1）证明：∵，D是BC的中点，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四边形是矩形．（2）由（1）可知四边形矩形．∴，，，∵D是的中点，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．22。（1）抛物线的表达式（2）水火箭距离地面的竖直高度米（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，则抛物线的表达式，（2）解：由题意知，则，那么，水火箭距离地面的竖直高度米．23。解：[操作体验]（1）[推理论证]（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；[拓展探究]（3）24。
（1）4（2）①③（3）18（1）解：，故答案为：4．（2）①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确．②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，∴中位数位于之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误．③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确，故有①③正确，故答案为①③．（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人．故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人．25。解：∵，，；∴，，∴，∵，，∴，∴；∴的长为；26。（1）解：连接，则：，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）∵，∴，由（1）知：，∴，由（1）知：，又∵，∴，∴，∴，，∴，即：，解得：（舍去）或，∴27。（1）证明∵为等边三角形，∴，∵绕点M逆时针旋转得到，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：四边形为平行四边形，理由如下，∵，，∴，∵绕点M逆时针旋转得到，∴，，∴，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，则四边形为平行四边形；（3）解：如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值为．28。
（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为位似图形，∵，，∴，，∵点是图形的“延长2分点”，∴点在线段上，∵线段上，∴是图形“延长2分点”；故答案为：；（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，∵，，∴，，∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”，∴直线与有交点，∴当过点时，值最小，把，代入，得：，∴的最小值为；（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，∵，，，∴，，，∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，∴当与有交点时，满足题意，当与相切时，如图，则：或，∴时，满足题意；当与相切时，且切点为，连接，则：，∵为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，∵，，，∴轴，∴，∵以为圆心，半径为1的，∴点在直线上，，∴，∴，∴或，∴；综上：或．
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