高中数学知识点总结(完整版).pdf
高中新课标理科数学 (必修+选修)所有知识点总结 引言 1.课程内容： 必修课程由 5 个模块组成： 必修 1: 集合 、指、 、幂函数 ）函数概念与基本初等函数 （对 必修 2: 立体几何初步、 平面解析几何初步。 必修 3: 算法初步、 统计、概率。 必修 4: 基本初等函数三角函数 、、（） 平面向量三角恒等变换。 必修 5: 解三角形、数列 、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函数、 数列、不等式、解三角形 、、,立体几何初步平面解析几何初步等不同的是在保证打好基础的同时。 进一步强调了这些知识的发生 、发展过程和实际应用 ，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外， 基础内容还增加了向量 、 算法 、 概率 、 统计等内容。 选修课程有 4 个系列： 系列 1: 由 2 个模块组成。、、一导数及其应用 选修 11: 常用逻辑用语圆锥曲线与方程。一 选修 1 2:统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图 系列 2: 由 3 个模块组成。 选修 2—1: 常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修 2—2: 导数及其应用，推理与证明、 数系的扩充与复数 选修 2—3: 计数原理、 随机变量及其分布列，统计案例。 系列 3: 由 6 个专题组成。 选修 3—1:数学史选讲。 选修 3—2:信息安全与密码。 选修 3—3:球面上的几何。 选修 3—4:对称与群。 选修 3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修 3—6: 三等分角与数域扩充。 系列 4: 由 10 个专题组成。 选修 4一1: 几何证明选讲。 选修 4一2:矩阵与变换。 选修 4一3:数列与差分。 选修 4一4: 坐标系与参数方程。 选修 4一5: 不等式选讲。 选修 4一6:初等数论初步。 选修 4一7:优选法与试验设计初步。 选修 4 —8:统筹法与图论初步。 选修 4 —9:风险与决策。 选修 4一10:开关电路与布尔代数。 2 . 重难点及考点：重点：函数，数列 ，三角函数 ，平面向量，圆锥曲线， 立体几何，导数难点：函数、 圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算 、 简易逻辑、 充要条件第 - 2 -页共 104 页⑵函数：映射与函数、 函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数 、 三大性质、 函数图象、指数与指数函数 、 对数与对数函数 、 函数的应用⑶数列：数列的有关概念、 等差数列 、等比数列、 数列求和、 数列的应用⑷三角函数：有关概念、 同角关系与诱导公式、 和、 差、 倍 、半公式 、 求值、化简、证明 、 三角函数的图象与性质、 三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算 、 坐标运算 、 数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、 均值不等式 、 不等式的证明、不等式的解法 、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程 、 两直线的位置关系 、 线性规划 、 圆、 直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆 、 双曲线、抛物线、 直线与圆锥曲线的位置关系 、 轨迹问题 、 圆锥曲线的应用⑼直线、 平面 、 简单几何体：空间直线、 直线与平面 、 平面与平面、棱柱、棱锥、 球、 空间向量⑽排列 、 组合和概率：排列 、组合应用题、 二项式定理及其应用( )11 概率与统计：概率 、分布列、期望、方差、 抽样、 正态分布( )12导数：导数的概念、求导、 导数的应用( )13 复数：复数的概念与运算高中数学必修 1 知识点•第章集合与函数概念l l . l l集合【 . 】集合的含义与表示1.1 1 ( 1) 集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. ( 2 )常用数集及其记法WWWZ《表示自然数集，或 表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.•+ ( 3)集合与元素间的关系aA/, 或者 a e M , 两者必居其一.对象与集合的关系是 ( 4 )集合的表示法①：.自然语言法用文字叙述的形式来描述集合②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{ xU 具有的性质 ，其中 I为集合的代表元素.）④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. ( 5 )集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做第 - 3 -页 共 1 0 4页 空集 0 ) .（1.1.2集合间的基本关系【】( 6)子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A aB( 1 )Ac A(2 0或A中的任一元素都() QA子集属于 B(3) 若w S 8 且 S e C ，则4 G CB3 A )(4)若 Ss 且Bc A,则j =/Ac B( 1 )0 c /( ( A 为非空子集）A QB ， B 中至且•真子集(或少有• 元素不属于(2)若且B c C ，贝/)c Cl J =AB A )〕A 中的任一元素都集合( 1)AQBA = B属于 B， B中的任相等() A2 BS一元素都属于 A( 7 )已 知 集 合 / 有 个 元 素 则 它 有它 有 2!它 有 2它有22，2个 子 集 ，- 个 真 子 集，- I个非空子集，- 非空真子集.【】集合的基本运算1.1.3( 8 )交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图( 1 ) A C\A = A{x xe 4 ,且丨■4 门 S( 2 ) A C\0 = 0 交集( 3) A\B c AJC s S(^,A V \B c B( 1) A D A =A{x | x e 4 ,或A \ B( 2 ) 0 AJA U = 并集( 3) A\ B AJ 3xeB \A\ B BJ sAf ] ( 6V A ) =0 u=( A )U( B ) 补集a〆0l；忍= (, 旬n(„ B )脅MU ），2 AU A ) = U补充知识【】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法( 1 )含绝对值的不等式的解法不等式解集(){ -)a a 0x a x a||\x a ( a 0 )或xa }||把b， 化 成 ;，看 成 一 个 整 体| c | a\ a x + b\c y \ + /» |c ( c 0 )第 - 4 -页 共 1 0 4 页xa ( a 0 )型不等式來求解|| ( 2 )一元二次不等式的解法判别式△0△ = 0△ 0的图象•元二次方程y j b 2 - 4气 2 =.b+ b x + c = 0( a 0 )2 a无实根的根(其中x 2 )+ b x + c 0( a 0)太■ 或x x 2}的解集+ b x + c 0( a 0)x x 2 }00的解集E l . 2〗函数及其表示1 . 2. 1】函数的概念【 ( 1) 函数的概念①设 J、s 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 / ，对于集合 J中任何一个数x, 在集合 s 屮都有唯一确定的数和它对应那么这样的对应包括集合 dw 到s 的对应法则) 叫做集合到/ U，（以及/的一个函数，记作 / :4S .^②函数的三要素 定义域、值域和对应法则:.^③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同 - 函数. ( 2) 区间的概念及表示法①设 是 两 个 实 数b,xb 的实数；的 集 合 叫 做 闭 区 间记 做 ,/满 足 的，r， [«] ;R am ^实数x 的集合叫做开区间，记做 a j) ;满足或0 5 6 的实数x的集合叫做半开半闭区间，（^分别记做 t ab, (a ,b ] 满足 X, f t 的 实 数 X 的 集 合 分 别 记 做-)^ (+ ?0 y為c o (：a/，而后者必须注意 对于集合与 区 间前 者 可以大于或等于J： M第 - 5 -页 共 1 0 4页ab,(前者可以不成立为空集 而后者必须成立，；.） ( 3)求函数的定义域吋，一般遵循以下原则：① f ( x ) 是整式时，定义域是全体实数.•② / U是分式函数时，定义域是使分母不为零的切实数.③ / 是偶次根式吋，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1.⑤少 = t a n x 中， x* k n+ —( k eZ ) ■零负）指数幂的底数不能为零.⑥ （⑦若 / U ) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧，：，的定义域对于求复合函数定义域问题一般步骤是若已知 (《6 其复合函数/ 4 的定义域为丨 ，]/匕 ”应由不等式( . ) 解出a g vb •^⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义. ( 4 )求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的如果在函数的值域屮存在•. 事实上，个最小(大）数，这个数就是函数的最小大）值. 因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度（不同.求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值•若函数可以化成一个系数含有的 关 的 二 次 方 程则③判别式法：Y= f ( x )〗1+ b ( y ) x+ c ( y )= 0 ，时， 由于; 为实数，故必须有 A0 ，从而确定函数的值域或最值.不等式法 利用基本不等式确定函数的值域或最值.④：：、⑤换元法 通过变量代换达到化繁为简化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥：.反函数法 利川函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑦：⑧函数的单调性法.1.2.2】【函数的表示法 (5 ) 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.：：解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法就是用图象表示两个变量之间的对应关系.： ( 6)映射的概念《/在集合 S中都有唯一的①设是两个集合，如果按照某种对应法则 / ，对于集合中任何一个元素，第 - 6 页 共 1 0 4页^-元素和它对应那么这样的对应 （,J)J，包括集合 JB 以及 到 S 的对应法则/叫做集合到S的映射，记作 / :给定一个集合 (.a那么我们把元素叫做元②/ 到集合的映射，且 a £A , b eB如果元素和元素对应，6%a 的象，元素叫做元素的原象.K 1 . 3 3 函数的基本性质【】单调性与最大 （ ）值1.3.1小 ( 1) 函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质T( 1)如果对于属于定义域内利用定义()某个区间上的任意两个yy=f(X)2利用已知函数,x x ,f(w自变量的值X 、 2当的单调性，( 3 ) 利用函数图象,_时，S5(x )f (x ) ,|W f?f(x.)(在某个区间图()那么就说 fx 在这个区0X象上升为增）间上是增函数.函数的( 4 ) 利用复合函数单调性如果对于属于定义域内( 1)利用定义Iy=f X(2)某个区间上的任意两个y()利用已知函数的单调性x, x , 当自变量的值、2( 3 ) 利用函数图象_P 时，都有 f C x,)f (x?) ,(在某个区间图()那么就说 fx 在这个区象下降为减）间上是碉毕寧■( 4 ) 利用复合函数在公共定义域内两个增函数的和是增函数两个减函数的和是减函数增函数减去一个减函数为增函数②，，，，减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数=，令 =(， 若 =为增，U，则为增；y/ MgX •/ (« )=为增=若，W\=；(« ) 为增，u(x为减，则为y = /⑷ 为减u = g(x) 为减，yf 为增若 = /= g)y^减；若w为减， w为增 贝文为减.y ( )= g (A： ， I J= /少 = /[名 ( ] ( 2 )”=x + -a0打 “V 函数/ ( 4( ) 的图象与性质/(：分别在 （ 0,]、上为增函数，分别在0-= -[-77, 0 ) (0，/7 上为减函数^ %]• ( 3)小）最大 （值定义^般地设函数的定义域为 /如果存在实数 M①-，/ = /(X)，-1/a^1); ,满足 （ 对于任意的 f e /都有x M：f ( )第 - 7 -页 共 1 0 4页( 2 ) 存在 ;/ ，使得从 那么，我们称是函数的最大值，记作=r/(1= •/(；/„ )。
。0axU,1)ve一般地，如果存在实数m（. / ，②设函数=的定义域为/满足：对于任意的都有vpy / (4/ (.(2 )存在 s / ，使得卜 m.那么，我们称m是函数 f ( x ) 的最小值，记作= m•/ ）=。【】奇偶性1.3.2 ( 4 ) 函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数 f (x) 定义( 1)利用定义 （要域 内 任 意 个 x ,都 有先判断定义域是否(那么函数关于原点对称）代了亡了?)，？？•( 2 )图f (x) 叫做奇函数.利用图象 （象关于原点对称）(-a. f (-a) )函数的奇偶性如果对于函数 f (x) 定义( 1)利用定义要（域 内 任 意 个 X ， 都有先判断定义域是否( ()(() )- . f -) a. f aa a-)=() 那么函数关于原点对称）« T ? r.?•，(2)利用图象图()（fx 叫做偶函数.象关于 y 轴对称）.②若函数 /(幻为奇函数，且在x =0处有定义，则/ (0) = 0③奇函数在 Y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.，的和 或差，④两个偶函数 （）（）仍是偶函数 （） 两个偶函数 （在公共定义域内或奇函数或奇函数或奇函数）的积或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商）是奇函数.（（K 补充知识3 函数的图象 ( 1)作 图利用描点法作阁：①确定函数的定义域；②化解函数解析式;③（、)④讨论函数的性质奇偶性单调性 ；画出函数的阁象.利⑴基本函数图象的变换作图：•要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、角函数等各种基本初等函:数的图象.①平移变换/ 0 左移 A 个卑位人 0 上移人 个单,,»y = f ( x h ) y = f ( x )y=f i x )+ k-——/o ,A 0 , K A»右 移 个 单 位移 |个②伸缩变换,0ftl 伸=/ ⑴=f ( (o x ),i 缩^QA \My=/ ⑴=J/ ⑴/i 仲，③对称变换第 - 8 -页 共 1 0 4页y轴y =/ ⑴―少 =-f ( x )y = f i x ) 少 = f (-x )原y =/ ⑴y =-f ( -x )y =/ ⑴—y =/ ⑴ -iTm, »=/ (m# 作»—^ =/ ⑴ ^W反¥¥I 去 y = \ f {x) \ (2)识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式屮参数的关系. (3 )用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了形，它是探求解题途径，获得“”的直观性问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.第二章基本初等函数（ )IK 2 . 1 3指数函数2.1.1【】指数与指数的运算¥( 1)根式的概念,a e W ，; a n，a的/J①如果 x =S eI «那么 f 叫做 的次方根. 当《是奇数时次方根+； 《，《《《0用符号表示当是偶数时正数 的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；的次方根是 0;负数没有n次方根.》，《，》，《为任意实数； 《②式子叫做根式这里叫做根指数叫做被开方数. 当为奇数时当为偶数时， o.^^\ a(a0 )③根式的性质：《，《为偶数时，d r =当为奇数时当47«= •-11 !(a0 ) ( 2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是: a4(0 , m ,« SW 且 0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0.，=+^(--()ae②正数的负分数指数幂的意义是:= ) = ； ( 0,0 的负分数指数幂.：，.没有意义注意口诀底数取倒数指数取相反数 ( 3)分数指数幂的运算性质.①〆② aa ( a0,r , s eR )（’） =r③ a6=ab (a 0,6 0 , r e R )（2 . 1. 2 指数函数及其性质【】 ( 4 )指数函数函数名称指数函数定义函数 «= a ( a 0 且a 1 ) 叫做指数函数*第 - 9 -页 共 1 0 4页y图象定义域R值域(0,+ »)过定点图象过定点 0, ，即当_r=0时, y\(1=•奇偶性非奇非偶单调性在尺上是增函数在 Rk是减函数1 (JC0I (x0 )函数值的1(x = 0 )1(x = 0 )变化情况1 ( x0 )1 (x0 )•a在第《越人图象越低变化对图象的影响象限内越大图象越高在第二象限内，；，^.K 2.23 对数函数2.2.1【】对数与对数运算 ( 1)对数的定义*；;i Va N ( aa 丰xaVc =A T ， a叫做真数①若=0,且1 ，则叫做以为底的对数，记作l o g ; 其中 叫做底数，.②负数和零没有对数.xWe/.③对数式与指数式的互化：=0,^1 , 0) ( 2 )几个重要的对数恒等式^l o g a1 = 0 ，l o g a= \ y l o g a =b•。
( 3)常用对数与自然对数l o g NI n N l o g（e2.7 1 828）常用对数：I gV ， 即, :自然对数：， 即其中=… .， ( 4 )对数的运算性质如果 《 0 , aA/ 0,N0 , 那么^1 ,M加法l o g M l o g N\ o ( M N )减法 l o g Ml o g N=l o g①：+= %②：,—^ N③数乘：n l o g ^ M=l o g (/ M (/7 eR ) ④=N第 - 10 -页 共 1 0 4 页log ,_^⑤ l o g , M= l o g ;M (b ^ 0 , neR ) ⑥换底公式：l o g N=(b 0,且 b^ \ )|bog »2.2. 2 对数函数及其性质【】( 5)对数函数函数对数函数名称:定义函数y = logu c (a0 且 a # 叫做对数函数y = i( g„ xy = ig„•«图象(1,0 )o定义域(0,+oo )值域,_=过定点图象过定点(1,0 )即当Xl 时，y= 0 .奇偶性非奇非偶在 + 00 上是增函数在是减函数
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