中文数学 Wiki
该页面将会总结初中阶段内大部分的数学知识,可供读者进行复习. 大纲以沪教版2019年初中数学课本为准.目录
代数[]数的分类[]
数学的发展中,数的范围的扩充是一个重要的主题. 从小学开始我们接触了自然数和分数,而后又接触了例如−1{\displaystyle -1}
这一类负数. 于是我们把分数,即可以用两个互素整数之比的数叫做有理数(Rational Number). 可见,整数是特殊的有理数.
但有理数并不能满足数学的需要,譬如面积为2{\displaystyle 2}
的正方形的边长是无法用有理数表示的,只能用2{\displaystyle \sqrt{2}}
表示. 相对的,我们把不能用两个互素整数的比值的数称作无理数(Irrational Number). 有理数与无理数统称实数(Real Number).
有了数字,就应当有运算,初中阶段我们所涉及的运算有:加与减、乘与除、乘方与开方. 其中,未加粗的运算本质上就是前一种运算,因为是互逆的. 其中乘方运算的指数可以是整数,也可以是更一般的有理数(指数亦可以是实数,且满足乘方所满足的法则),且对底数无要求. 对于这样的一个幂apq{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}}
(p, q是互素整数),它等价于apq{\displaystyle {\sqrt[{q}]{a^{p}}}}
;而对于它的逆运算即开方,却对被开方数是有一定要求的:负数在实数范围内不存在偶次方根.
代数式[]
有了具体的数,但现实生活中的量并不一定都是具体的,是随一定条件而变化而不确定的,这就需要我们进行抽象:使用字母(通常是小写英文字母)表示数. 有了抽象的字母,便可以表达一般规律. 我们将出现的式子称为代数式(不是等式或不等式).
代数式的运算大致遵循寻常数字的运算.
方程[]
有了运算,就应当有方程(组):即含有未知数的等式(组). 初等代数方程可分为有理方程(仅含有整式或分式)和无理方程(含有根式). 但无论是什么方程(组),它们都有一般的解法,这体现了数学中重要的化归思想:
去分母和根号,化归为整式方程(组),但这一步会扩大未知数取值范围,故必须检验;对于方程组,尝试进行消元,化归为一元方程;解一元方程;检验. 这步非常重要,其重要性体现在:验证方程是否出现增根;验证方程的根是否符合题目所要求的实际意义.
但在实际解题中,我们可能不一定要按照一般步骤,或者在一般步骤中出现困难,此时我们需要一定的技巧:
配凑因式分解:
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