一道网上答案有误的义乌中考数学题
http://kuailexuexi.net/data/attachment/forum/20241023/1729686329882_0.jpg这道填空压轴题如果让初三时候的我在考场上做，满分5分我只能拿1分。不过我还是发现了这道题第2小题网上流传的参考答案有误。而且吊诡的是初三那年中考前的模拟考用义乌的模拟卷时，我反而考出了146/150这个历次模拟考的数学最高分。
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第1小题，如上图所示，过旋转后的B点作BC⊥l2，垂足为C。注意是以∠B为顶角的等腰三角形，那么△BPA为等腰三角形时显然PB=AB=√2。我比较容易想到P点在C点上方的情况，此时∠BOC=90°-α=90°-60°=30°，那么在Rt△OBC中已知OB=2，则根据三角函数BC=1，OC=√3。在Rt△PBC中BC=1，PB=√2，那么根据勾股定理CP=1。所以当P点在C点上方时OP=OC+CP=√3+1。在考场上我会漏掉P点在C点下方的情况，所以这道题我只能得1分。当P点在C点下方时，OC、CP的长度跟P点在C点上方时的求解过程、结果都一样，但此时OP=OC-CP=√3-1。所以第1小题答案为√3+1或√3-1。
第2小题，其实是个隐圆问题。要想让△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，在l2上就必须存在点P使得PB=AB。若以B点为圆心、AB为半径的圆与l2没有交点，那么此时P点无论在l2的何处都有PB＞AB，此时的旋转角度就不符合题目的要求。所以只有以B点为圆心、AB为半径的圆与l2有交点才能让此时有符合题意的P点存在。临界情况就是以B点为圆心、AB为半径的圆与l2相切时，此时圆与l2恰好有一个交点，当α＜90°时，因为圆与l2相切，设切点为D（其实跟第1小题的C点位置类似，都是过B点作l2的垂线，可以把本小题的D点当作第1小题的C点来理解），此时P点与D点重合，∠BDO=90°，因为都是⊙B的半径所以BD=AB=√2，则在Rt△BOD中OB=2，BD=√2，根据勾股定理OD=√2，故此时△BDO是以∠B为顶角的等腰直角三角形，∠DOB=45°，此时α=90°-∠DOB=90°-45°=45°；当α＞90°时，用同样方法求得∠DOB=45°，此时α=90°+∠DOB=90°+45°=135°。把以B点为圆心、AB为半径的圆记作⊙B，观察整个旋转过程，当0°＜α＜45°时，⊙B与l2没有交点，不符合题意；当α=45°时，⊙B与l2有一个交点，表明有1个符合题意的P点；当45°＜α＜90°时，⊙B与l2有两个交点，表明有2个符合题意的P点；当α=90°时，A、B、P三点都在l2上无法构成三角形，不符合题意；当90°＜α＜135°时，⊙B与l2有两个交点，表明有2个符合题意的P点；当α=135°时，⊙B与l2有一个交点，表明有1个符合题意的P点；当135°＜α＜180°时，⊙B与l2没有交点，不符合题意。综上，当45°≤ α＜90°或90°＜α ≤ 135°时存在符合题意的P点。所以第2小题答案为45°≤ α＜90°或90°＜α ≤ 135°。网上说本小题的答案是45°＜α＜90°或90°＜α ＜ 135°是错误的，45°和135°这两个数值是可以取到的。
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