考研数学:探讨微分与导数的区别，搞懂d与△的含义和含义，不要将其混为一谈
部分高中数学教材在导数的应用部分，直接引入了定积分的概念，却没有深入探讨微分的含义。很多同学不明白dx代表什么，而在大学学习高等数学时，由于导数与微分的结果在形式上非常相似，且可导是可微充要条件，有些同学甚至老师可能会偷懒，将可导与可微混为一谈。导数与微分，实际上就是“变化率”与“变化量”的区别。
首先来看导数：
导数的定义相信都不陌生：
导数的定义
它是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限。这个增量之比称为函数关于自变量的平均变化率。
先不讨论导数在几何上的意义，我们来看微分的引入。
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容易看出，面积的改变量△S=（x0+△x）^2-（x0）^2=2x0△x-（△x）^2
由前面极限部分的知识可知，当x趋于0时，可忽略掉二次方项。
定义：如果y=f(x)满足一定条件，则增量△y可表示为△y=A△x+o(△x)
y的微分dy=A△x(A为不依赖于x的常数),与y的增量相差了一个高阶无穷小，我们往往在计算中忽略掉高阶无穷小。
显然，dy为关于△x的线性函数，这样就把一个非线性函数在很小的一段上视为了线性函数，这叫作局部线性化。进行局部线性化后，便用A△x近似代替了△y。
由此得出，微分dy是增量△y的一个近似表示。通俗来说，增量就是微分加上一个高阶无穷小。我们在讨论问题时，往往使x趋于0 这时便有△y的极限=dy的极限（注意是极限，只有极限计算中才能忽略掉高阶无穷小。）
现在，我们把微分与求导联系起来。有定理：函数可导的条件是在这一点可微。
证明：
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我们发现，结果变成了y的导数。同理可由结果逆推得y的增量。这说明了可导与可微是等价的。
下面，用直观的几何图形来说明dy和△y的含义。
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dy和△y的几何解释
显然，dy只是视为该点处切线的y的增量，而△y是y=f(x)的增量，一般情况下是不相等的，而在x趋于0时，差的部分为△x的高阶无穷小，他们的极限便相等了。故dy/dx的极限是等于△y/△x的极限的。
导数在几何上的意义是点切线的斜率，有了斜率便可以求得y的变化量，形式上是两边同乘△x（由三角形知识可得）故导数与微分在数值上是相同的。
总结：对于一元函数，△y是x0有增量△x时函数的增量，而dy是函数在该点切线的y的增量。当x趋于0时它们的极限是相等的，它们与△x趋于0的极限之比即为该点的导数，在几何上体现为该点处切线的斜率。
对于多元函数有类似的定义，但是多元函数的情况要比一元函数复杂的多，对于微元的选取都不尽相同，但都不违背微分的”线性化“作用，以直代曲，近似计算，从而得出结果。
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