admin 发表于 2024-9-8 14:03:57

【高考数学】行列式,快速求出法向量

众所周知,在高考大题立体几何中,第二问的解法往往是一个机械的过程

(建立直角坐标系,求法向量,求夹角)。

那么,越是机械性的过程越可以简化,今天分享一种快速求法向量的方法——行列式,用熟以后会很方便。

首先,在建立直角坐标系时,要尽量选择一个方便的位置。

比如在求二面角时,需要求出两个法向量。如果你坐标系的位置足够巧妙的话,有一个法向量往往可以直接看出来。

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接下来我们从向量“点乘”说起。

向量“点乘”,又叫做向量的“数量积”,它的算法如下:

a· b = | a | | b | cosθ

其中,a 和 b 是向量,| a| 表示向量 a 的模(长度),θ 表示两个向量之间的角度

它们算出来的结果是一个标量,因此“数量积”又称作“标量积”,我们往往利用这个公式来计算两向量夹角的余弦值。

那么,向量“叉乘”又是什么呢?

“叉乘”也叫作“叉积”,与“点乘”不同的是,它的运算结果是一个向量,其定义如下:

对于两个不共线的向量 u 和 v,它们的叉积写作 u× v,是 u和 v所在平面的法线向量(法向量),它与u和v 都垂直。

简单来说,某平面上有两个向量 u 和 v。设向量 n =u× v,那么运算后得到的向量 n 与向量u和v都垂直(n ⊥ u,n ⊥ v)。那它当然也垂直于平面,是平面的法向量啦w

它的算法是这样的:

向量 u = ( u1,u2, u3),向量 v = ( v1, v2, v3 ),

算出来的向量 n = (i 的系数, j的系数, k 的系数)

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n = u × v,n ⊥ u,n ⊥ v

emmm...看不懂没关系,这就是行列式。在本文中,我们主要侧重于讨论怎么计算。

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行列式的算法相当复杂,如下图:

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行列式展开的复杂算法

(所以我想,应该不会有人想死记硬背吧......)

可是别慌,我们可以利用“对角线法则”来巧记:

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行列式的“对角线法则”

emmm...还不明白?好吧,我写详细一点吧:

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展开式详细的算法

那么算好之后,怎么用呢?如下图例题所示:

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我们得到 8i + 8j -8k,最终算出的向量 n = ( i 的系数, j 的系数, k 的系数),即 ( 8, 8, -8) 。

因为法向量只看方向,所以又可以同时除以 8,变成 ( 1, 1, -1 )

最后,给出四道行列式例题,以供大家练手:

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行列式例题

答案:

答案

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参考资料:

1.《数学那玩意:自主招生秘籍》

(韩旭编著,浙江大学出版社,ISBN:978-7-308-08072-9)

2.《高等数学》(上册)

(同济大学数学系编,高等教育出版社,ISBN:978-7-04-039663-8)

3.维基百科()

嗯,我承认这个方法一开始很费劲,不过熟练之后真的很快(对于我)。

最后,祝大家高考顺利,超常发挥!
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