1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案.pdf
1999 年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案?本试卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1 至 2 页。第 II卷 3 至 8 。共150 分。 考试时间 120 分钟。第 I 卷 （选择题共 60 分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或 B ）用铅笔涂写在答题卡 上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂 其它答案，不能答在试题卷上。 3 ．考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式：1S(cc)l 其中 c、 c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 ．台侧24 3球的体积公式：V球r ，其中 R 表示球的半径．31 ‘台体的体积公式：V台体 （SS SS)h ，其中S ， S 分别表示上下底面积，h 表示高。3 一、选择题：本大题共14 小题；第 1— 10 题每小题4 分，第11— 14 题每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。（1）如图 ,I 是全集 ,M、P、S、是I的 3 个子集，由阴影部分所表示的集合是()（A） (M N )S （B） (M P)S（C） ( MP)S （D） (M P) S（2）已知映射 f: A B , 其中，集合A { 3, 2, 1,1,2,3,}, 集合 B 中的元素都是 A 中 元素在映射 f 下的象，且对任意的aA ,在 B 中和它对应的元素是{a},则集合 B 中 元 素的个数是()（A）4 （B）5 （C）6（D）7精心整理（3 ）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 0, 则g (b)等于 ()（A ） a（B ） a 1（C ） b（D） b 1（4）函数f(x)=Msin( x )( 0)在区间 上是增函数， 且 f(a)=-M,f(b)=M, 则函数 g(x)=Mcos(x )在[ a, b] 上 ()(A) 是增函数（B）是减函数（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值－M（5 ）若 f(x)sinx 是周期为的奇函数，则f(x) 可以是（A）sinx(B)cosx(C)sin2x(D)cos2x（6 ）在极坐标系中，曲线4sin()关于 ()35(A) 直线对称（B）直线轴对称36（C）点 (2, ) 中心对称（D）极点中心对称3（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm，若将这些水倒入轴截面是正 三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）(A)6 3cm （B） 6cm（C）2（D）3（8 ） 若(2x 3) 4a a xa x 2a x3a x 4 ,则（ a a a)2 (a a)20 1 2340 2 41 3 的值为（）(A)1(B)-1(C)0(D)2 (9)直线3x y230截圆 x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为（）（A） (B)(C) (D)6 43 23 (10)如图， 在多面体ＡＢＣＤＥＦ中, 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝, EF 与面ＡＣ的2 距离为２，则该多面体的体积（）915（A） (B)5 (C)6 (D)22（11）若 sintg ctg (), 则 （）22(A)(, ) (B) (,0) (C)(0, ) (D)( , )2 4444 2（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为 1 ∶2，那么R＝（） 精心整理（A）10（B）15 （C）20（D）252552 2x2（13）已知丙点M （1， ) 、N ( 4 ,), 给出下列曲线方程：4x+2y-1=0② x y 3 ③y 1 ④442 2x2y 1在曲线上存在点P 满足MPN P 的所有曲线方程是2（A）①③（ B）②④（ C）①②③（D）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500 元的资金购买单价分别为60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘。
根据需要， 软件至少买3 片，磁盘至少买2 盒，则不同的选购方式共有（）（A）5 种（ B）6 种（ C）7 种（ D）8 种 二、填空题：本大题共4 小题；每小题4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。22（15）设椭圆x y 1（0)的右焦点为，右准线为. 若过a bFLF 且垂直于x2 2121a b 轴的弦的长等于点F1 到 L 1 的距离，则椭圆的离心率是。（16）在一块并排10 垄的田地中，选择2 垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长， 要求A 、B 两种作物的间隔不小于6 垄，则不同的选垄方法共有_____种 (用数字作答）（17）若正数a、b 满足ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是（18） 、 是两个不同的平面，m、 n 是平面、 之外的两条直线。给出四个论断： ① m n ②③ n④ m以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命 题： 三．解答题：本大题共6 小题；共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（19）（本小题满分10）解不等式3 logax 22 log a x 1(a.0,a1)（20 ）（本小题满分12 分）设复数z ＝3cosi 2 sin .求函数 yarg z (0)的最大值以 及对应的值2 (21)( 本小题满分 12 分 ) 如 图 ： 已 知 正 四 棱 锥ABCD － AB CD,点E在棱 DD上，截面EAC∥ 1 1 111 精心整理 D B,且面 EAC与底面 ABCD所成的角为 45， 1 AB ＝a（）求截面的面积；1EAC（）求异面直线与 之间的距离；2A BAC1 1（）求三棱锥－ 的体积。
3B1EAC（22 ）（本小题满分12 分）右图为一台冷轧机的示意图。 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从 一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出。 （1）输入钢带的厚度为,输出钢带的厚度为， 若每对轧辊的减薄率不超过r0 ，问冷轧机至少需要 安装多少对轧辊？输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度（一对轧辊减薄率＝）输入该对的带钢厚度 （2 ）已知一台冷轧机共有4 台减薄率为 20 ％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm 。若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为lk .为了便于检修，请计算L . L L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）123 轧钢序列号 k1234 疵点间距 Lk （单位 mm）1600 (23)( 本小题满分 14 分 )已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。当 精心整理 (24) （本小题满分14 分）如图，给出定点A （a,0）(a0且a 1和直线 l:x=-1,B 是直线 l 上的动点， ∠BOA 的角平分线交AB 于 C 点，求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系。
参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解 答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难，可视影 响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。第（1）－第（ 10）题每小题4 分，第（11）－（ 14）题每小题5分，满分 60 分。（1）C（2 〕A （3 〕A（4 ）C（5 ）B（6 ）B（7）B（8）A（9 ）C（10）D（11） B （12）D （13）D（14）C ? 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4 分，满分 16 分1（15） （16）12 （17） [9,+ )2 (18) m , n ,mn; 或 mn, m, n 三．（19）本小题主要考查对数函数的性质，对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类论的思想，满分10 分 解：原不等式等价于3 log a x 2 023 log a x 2 ( 2log a x 1 )可解得：2log a x 1 023 当 a1 时得所求的解集是：{ x a 3 x a 4 } { x x a} 精心整理32 当 0＜a ＜1 时得所求的解集是：{ x a 4x a3 } { x 0x a} (20)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能 力，满分12 分。
由 0得tg022 sin2 由 z=3cosi2sin ,得0 argz及tg (argz)tg23cos32tgtg31 故 tgy=tg(arg z)2 221 tg2tg3tg316 ∵2tg ≥2 6∴≤tg3122tgtg36 当且仅当时 即时,上式取等号2tg(0),tgtg2266 故当arctg时 函数 tgy 取最大值,2126 ∵ yarctgz 故y ( , ). ∴y maxarctg2212 (21) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念 思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12 分。(1)作辅助线如图所示:2 2 S 解得 : EACa2 (2)可求得AA D D2a 即为所求异面直线的距离11331 2 2323 (1)求得B QB Da,故 Vaaa11B1 EAC423 224 (22)本小题主要考查等比数列，对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力，满分 14 分。(1)厚度为 的钢带经过减薄率均为r 的 n 对轧辊后厚度为(1r) n00 为使输出钢带的厚度不超过, 冷轧机的轧辊数( 以对为单位) 应满足 精心整理lglglg lg 即 n因此至少需要安装不小于的整数对轧辊lg(1r)lg( 1r)00 (2)第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长, 在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相 等 , 因宽度不变, 有 1600L3(10 2)1600L3L2 故 L32000 (mm) 同理L2500( mm) L23125( mm)082 0808 填表如下:轧钢序列号k12343125250020001600疵点间距Lk（单位 mm） (23) 本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力。
满分14 分。 (1) 依题意 (24) 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识 解决问题的能力。满分14 分。 依题意 ,记(-1,b)(bR) ,则直线OA 和 OB 的方程分别为y=0 和 y=-bx. 设点 C(x,y), 则有 0x a,由OC平分∠AOB, 知点C 到 OA.OB距离相等,根据点到直线的距离公式得ybxy①21 bb 依题意设,点 C 在直线AB上 ,故有 y(xa)1 a 由 x a 0 b(1a ) y ②xa222 (1 a)y(1a) xy222 将②代入①得][( 1)2(1 )] 0y [ yy
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