2022年中考数学《特殊三角形（培优）》专项必考题-带解析.docx
2022年中考数学《特殊三角形（培优）》专项必考题2022年中考数学《特殊三角形（培优）》专项必考题 PAGE 39 PAGE 1 2022年中考数学《特殊三角形（培优）》专项必考题中考数学专题:4。9 特殊三角形(培优篇)(真题专练)一、单选题1．(2021·四川绵阳·中考真题)如图,在中,,,,且,若,点是线段上的动点,则的最小值是()A．B．C．D．2．(2021·贵州黔东南·中考真题)将一副直角三角板按如图所示的方式放置,使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直,则∠1的度数为()A．B．C．D．3．(2021·福建·中考真题)如图,点F在正五边形的内部,为等边三角形,则等于()A．B．C．D．4．(2021·青海·中考真题)已知,是等腰三角形的两边长,且,满足,则此等腰三角形的周长为()．A．8B．6或8C．7D．7或85．(2021·甘肃武威·中考真题)如图1,在中,于点．动点从点出发,沿折线方向运动,运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2,则的长为()A．3B．6C．8D．96．(2021·天津·中考真题)如图,在中,,将绕点C逆时针旋转得到,点A,B的对应点分别为D,E,连接．当点A,D,E在同一条直线上时,下列结论一定正确的是()A．B．C．D．7．(2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图,在中,,将边沿折叠,使点B落在上的点处,再将边沿折叠,使点A落在的延长线上的点处,两条折痕与斜边分别交于点N、M,则线段的长为()A．B．C．D．8．(2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)已知:的顶点,点C在x轴的正半轴上,按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交于点M,交于点N．②分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在内相交于点E．③画射线,交于点,则点A的坐标为()A．B．C．D．9．(2021·山东威海·中考真题)如图,在平行四边形中,,．连接AC,过点B作,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F．若,则四边形ABEC的面积为()A．B．C．6D．10．(2021·陕西·中考真题)如图,、、、是四根长度均为5cm的火柴棒,点A、C、E共线．若,,则线段的长度为()A．6 cmB．7 cmC．D．8cm11．(2021·四川南充·中考真题)如图,在矩形ABCD中,,,把边AB沿对角线BD平移,点,分别对应点A,B．给出下列结论:①顺次连接点,,C,D的图形是平行四边形;②点C到它关于直线的对称点的距离为48;③的最大值为15;④的最小值为．其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题12．(2021·广西百色·中考真题)如图,△ABC中,AB＝AC,∠B＝72°,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2,则BD＝______．13．(2021·广东广州·中考真题)如图,在中,,,点D是边AB上一点,点B关于直线CD的对称点为,当时,则的度数为________．14．(2021·江苏泰州·中考真题)如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(8,5),⊙A与x轴相切,点P在y轴正半轴上,PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°,则点P的坐标为 ___．15．(2021·辽宁大连·中考真题)如图,在菱形中,,点E在边上,将沿直线翻折180°,得到,点B的对应点是点若,,则的长是__________．16．(2021·内蒙古·中考真题)如图,BD是正方形ABCD的一条对角线,E是BD上一点,F是CB延长线上一点,连接CE,EF,AF．若,,则的度数为__________．17．(2021·湖南娄底·中考真题)如图,中,是上任意一点,于点于点F,若,则________．18．(2021·江苏盐城·中考真题)如图,在矩形中,,,、分别是边、上一点,,将沿翻折得,连接,当________时,是以为腰的等腰三角形．19．(2021·江苏南京·中考真题)如图,在四边形中,．设,则______(用含的代数式表示)．20．(2021·山东青岛·中考真题)已知正方形的边长为3,为上一点,连接并延长,交的延长线于点,过点作,交于点,交于点,为的中点,为上一动点,分别连接,．若,则的最小值为__________．21．(2021·四川内江·中考真题)如图,矩形中,,,对角线的垂直平分线交于点、交于点,则线段的长为 __．22．(2021·广西桂林·中考真题)如图,正方形OABC的边长为2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到正方形OA′B′C′,连接BC′,当点A′恰好落在线段BC′上时,线段BC′的长度是 ___．23．(2021·内蒙古呼和浩特·中考真题)已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点,点P是对角线上的动点．连接,若AE平分,则线段与的和的最小值为__________,最大值为__________．24．(2021·江苏无锡·中考真题)如图,在中,,,,点E在线段上,且,D是线段上的一点,连接,将四边形沿直线翻折,得到四边形,当点G恰好落在线段上时,________．三、解答题25．(2021·广东深圳·中考真题)如图,已知,是角平分线且,作的垂直平分线交于点F,作,则周长为________．26．(2021·福建·中考真题)如图,在中,．线段是由线段平移得到的,点F在边上,是以为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在的延长线上．(1)求证:;(2)求证:．27．(2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)如图,在山坡的坡脚A处竖有一根电线杆(即),为固定电线杆,在地面C处和坡面D处各装一根引拉线和,它们的长度相等．测得米,,求点D到的距离．28．(2021·湖南衡阳·中考真题)如图,点E为正方形外一点,,将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．(1)试判定四边形的形状,并说明理由;(2)已知,求的长．参考答案1．A【分析】根据相似三角形的性质得到,得到,,过B作于H,根据等腰三角形的性质得到,根据勾股定理得到,当时,PQ的值最小,根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解:,,,解得:(负值舍去),,,,,,,,过B作于H,,,,,当时,PQ的值最小,,,,,故选:A．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．D【分析】由三角板的特征可得∠B=45°,∠E=30°,∠EFD=90°,利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数,再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数．【详解】解:由题意得△ABC,△DEF为直角三角形,∠B=45°,∠E=30°,∠EFD=90°,∴∠AGE=∠BGF=45°,∵∠1=∠E+∠AGE,∴∠1=30°+45°=75°,故选:D．【点拨】本题主要考查三角形外角的性质,等腰直角三角形,求解∠AGE的度数是解题的关键．3．C【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数,根据正五边形的性质可得AB=BC,根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°,AB=BF,可得BF=BC,根据角的和差关系可得出∠FBC的度数,根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数,根据角的和差关系即可得答案．【详解】∵是正五边形,∴∠ABC==108°,AB=BC,∵为等边三角形,∴∠ABF=∠AFB=60°,AB=BF,∴BF=BC,∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°,∴∠BFC==66°,∴=∠AFB+∠BFC=126°,故选:C．【点拨】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质,熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．4．D【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值,再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解:∵,∴解得,①2是腰长时,三角形的三边分别为2、2、3,能组成三角形,周长=2+2+3=7;②2是底边时,三角形的三边分别为2、3、3,能组成三角形,周长=2+3+3=8,所以该等腰三角形的周长为7或8．故选:D．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,绝对值与算术平方根的非负性,根据几个非负数的和等于0,则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键,难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．5．B【分析】从图象可知,,点M运动到点B位置时,ΔAMD的面积达到最大值y=3,结合等腰三角形的“三线合一”的性质、三角形的面积公式和勾股定理可求得AC的长．【详解】解:根据函数图象可知,点M的运动路程,点M运动到点B的位置时,ΔAMD的面积y达到最大值3,即ΔABD的面积为3．∵∴∴．∴,即:,,即:．∵,∴．两式相加,得,2AD=6．∴AC=2AD=6．故选:B【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、等式的性质与恒等变形、函数图象等知识点,从函数图象中获取相应的信息,利用勾股定理和三角形的面积公式,进行等式的恒等变形是解题的关键．6．D【分析】由旋转可知,即可求出,由于,则可判断,即A选项错误;由旋转可知,由于,即推出,即B选项错误;由三角形三边关系可知,即可推出,即C选项错误;由旋转可知,再由,即可证明为等边三角形,即推出．即可求出,即证明,即D选项正确;【详解】由旋转可知,∵点A,D,E在同一条直线上,∴,∵,∴,故A选项错误,不符合题意;由旋转可知,∵为钝角,∴,∴,故B选项错误,不符合题意;∵,∴,故C选项错误,不符合题意;由旋转可知,∵,∴为等边三角形,∴．∴,∴,故D选项正确,符合题意;故选D．【点拨】本题考查旋转的性质,三角形三边关系,等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．7．B【分析】利用勾股定理求出AB=10,利用等积法求出CN＝,从而得AN＝,再证明∠NMC＝∠NCM＝45°,进而即可得到答案．【详解】解:∵∴AB=,∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC∴CN＝,∵AN＝,∵折叠∴AM＝AM,∠BCN＝∠BCN,∠ACM＝∠ACM,∵∠BCN+∠BCN+∠ACM+∠ACM=90°,∴∠BCN +∠ACM＝45°,∴∠MCN＝45°,且CN⊥AB,∴∠NMC＝∠NCM＝45°,∴MN＝CN＝,∴AM＝AM＝AN?MN＝-=．故选B．【点拨】本题考查了翻折变换,勾股定理,等腰直角三角形的性质,熟练运用折叠的性质是本题的关键．8．A【分析】由题意得:OE平分∠AOC,结合AD∥OC,可得AO=AF,设AH=m,则AO=AF=2+m,根据勾股定理,列出方程,即可求解．【详解】解:由作图痕迹可知:OE平分∠AOC,∴∠AOF=∠COF,∵在中,AD∥OC,∴∠COF=∠AFO,∴∠AOF=∠AFO,∴AO=AF,∵,∴FH=2,OH=3,设AH=m,则AO=AF=2+m,∵在中,AH2+OH2=AO2,∴m2+32=(2+m) 2,解得:,∴A,故选A．【点拨】本题主要考查平行四边形的性质,尺规作角平分线,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,推出AO=AF,利用勾股定理列出方程,是解题的关键．9．B【分析】先证明四边形ABEC为矩形,再求出AC,即可求出四边形ABEC的面积．【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3,∠D=∠ABC,∵,∴四边形ABEC为平行四边形,∵,∴,∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF,∴AF=BF,∴2AF=2BF,即BC=AE,∴平行四边形ABEC是矩形,∴∠BAC=90°,∴,∴矩形ABEC的面积为．故选:B【点拨】本题考查了平行四边形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理等知识,熟知相关定理,证明四边形ABEC为矩形是解题关键．10．D【分析】分别过B、D作AE的垂线,垂足分别为F、G,证明,即可证明,进一步计算即可得出答案．【详解】解:分别过B、D作AE的垂线,垂足分别为F、G,∵,,∴,∴,在和中;,∴,∴BF=CG,∵,∴均为等腰三角形,∵,∴,∴,∴,故选:D．【点拨】本题主要考查等腰三角形判定与性质,全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点,正确画出辅助线是解决本题的关键．11．D【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①,再利用等积法得出点C到BD的距离,从而对②做出判断,再根据三角形的三边关系判断③,如图,作关于的对称点,交于连接,过作于分别交于证明是最小值时的位置,再利用勾股定理求解,对④做出判断．【详解】解:由平移的性质可得AB//且AB=∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD,AB=CD=15∴//CD且=CD∴四边形CD为平行四边形,故①正确在矩形ABCD中,BD===25过A作AM⊥BD,CN⊥BD,则AM=CN∴S△ABD=AB·CD=BD·AM∴AM=CN==12∴点C到的距离为24∴点C到它关于直线的对称点的距离为48∴故②正确∵∴当在一条直线时最大,此时与D重合∴的最大值==15∴故③正确,如图,作关于的对称点,交于连接,过作于分别交于则为的中位线,,由可得,此时最小,由②同理可得:设则由勾股定理可得:整理得:解得:(负根舍去),∴故④正确故选D．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定,矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点,熟练掌握相关的知识是解题的关键．12．【分析】先根据AB=AC,∠B=72°求出∠A的度数,再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD,即AD=CD,再根据大角对大边得到ADBD,最后利用黄金分割公式计算求解即可。【详解】解:∵AB=AC,∠B=72°∴∠ACB=∠B=72°∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°∵CD是∠CAB的角平分线∴∠ACD=∠BCD=∴∠A=∠ACD∴AD=CD在△ABC与△CBD中∠A=∠BCD=36°,∠B=∠B∴△ABC∽△CBD∴在三角形CDB中,∠B=72°,∠BCD=36°∴∠CDB=72°∴∠CDB=∠B=72°∴AD=CD=BC∴即∴D点为AB的黄金分割点在三角形CDB中,∠B=72°,∠BCD=36°∴CDBD(大角对大边)∴ADBD∵D是AB的黄金分割点,ADBD∴∴故答案为:。【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质,相似三角形的性质与判定,黄金分割点,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。13．【分析】如图,连接,根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得,,并由平行线的性质可推出,最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】解:如图,连接∵点B关于直线CD的对称点为,∴,．∵,∴．∴,．∵,∴．∵,∴．∴．∵．∴．∴．故答案为:．【点拨】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识,熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．．【分析】连接AB,作AD⊥x轴,AC⊥y轴,根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度,然后由圆和矩形的性质,根据勾股定理求出OC的长度,即可求出点P的坐标．【详解】如下图所示,连接AB,作AD⊥x轴,AC⊥y轴,∵PB与⊙A相切于点B∴AB⊥PB,∵∠APB＝30°,AB⊥PB,∴PA=2AB=．∵∴四边形ACOD是矩形,点A的坐标为(8,5),所以AC=OD=8,CO=AD=5,在中,．如图,当点P在C点上方时,∴,∴点P的坐标为．【点拨】此题考查了勾股定理,30°角直角三角形的性质和矩形等的性质,解题的关键是根据题意作出辅助线．15．【分析】由题意易得,,则有,进而根据折叠的性质可得,,然后根据三角形内角和可得,最后根据等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解:∵四边形是菱形,∴,∵,∴,是等边三角形,即,∵,∴,由折叠的性质可得,,,在中,由三角形内角和可得,∴,即,∴是等腰直角三角形,∴;故答案为．【点拨】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定,熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．16．【分析】首先连接AE,由题可知,DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形,由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°,求出,得出=22。
5°,,,所以 ,得出∠AEF=90°,再证明 ,则,所以△AEF为等腰直角三角形,∠FAE=45°,减去∠BAE即可．【详解】连接AE,如图,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°, ,∵DE=CD,∴AD=DE=CD,∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67。5°,∴ , ,又∵EF=EC,∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,在△DAE和△DEC中:∵∴△DAE≌△DEC(SAS),∴AE=EC,又∵EC=EF,∴AE=EF,∴△AEF为等腰直角三角形,∴∠FAE=45°,∴,故填:22。5°．【点拨】本题考查正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定,三角形内角和,解题关键是添加辅助线,构造全等三角形．17．1【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和,即可间接求出的值．【详解】解:连接,如下图:于点于点,,,,故答案是:1．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质,利用面积法解决两边之和问题,解题的关键是:将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．18．或【分析】对是以为腰的等腰三角形分类讨论,当时,设,可得到,再根据折叠可得到,然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可;当时,过A作AH垂直于于点H,然后根据折叠可得到,在结合,利用互余性质可得到,然后证得△ABE≌△AHE,进而得到,然后再利用等腰三角形三线合一性质得到,然后在根据数量关系得到．【详解】解:当时,设,则,∵沿翻折得,∴,在Rt△ABE中由勾股定理可得:即,解得:;当时,如图所示,过A作AH垂直于于点H,∵AH⊥,,∴,∵,∴,∵沿翻折得,∴,∴,在△ABE和△AHE中,∴△ABE≌△AHE(AAS),∴,∴,∴∵,∴,∴,综上所述,,故答案为:【点拨】本题主要考查等腰三角形性质,勾股定理和折叠性质,解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰,然后结合勾股定理计算即可．19．【分析】由等腰的性质可得:∠ADB=,∠BDC=,两角相加即可得到结论．【详解】解:在△ABD中,AB=BD∴∠A=∠ADB=在△BCD中,BC=BD∴∠C=∠BDC=∵∴====故答案为:．【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理,分别求出∠ADB=,∠BDC=是解答本题的关键．20．【分析】由正方形的性质,可得A点与C点关于BD对称,则有MN +CM=MN+AM≥AN,所以当A、M、N三点共线时,MN+CM的值最小为AN,先证明△DCG~△FCE,再由,可得,分别求出DE=1,CE=2,CF=6,即可求出AN．【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,∴A点与C点关于BD对称,∴CM=AM,∴MN+CM=MN+AM≥AN,∴当A、M、N三点共线时,MN+CM的值最小,∵AD∥CF,∴∠DAE=∠F,∵∠DAE+∠DEH=90°,∵DG⊥AF,∴∠CDG+∠DEH=90°,∴∠DAE=∠CDG,∴∠CDG=∠F,∴△DCG~△FCE,∵,∴,∵正方形边长为3,∴CF=6,∵AD∥CF,,∴DE=1,CE=2,在Rt△CEF中,EF2=CE2+CF2,∴,∵N是EF的中点,,在Rt△ADE中,EA2=AD2+DE2,∴,∴,∴MN+MC的最小值为．故答案为:．【点拨】本题考查轴对称求最短距离,熟练掌握正方形的性质,用轴对称求最短距离的方法,灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．21．【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD,证明△BOF∽△BCD,根据相似三角形的性质得到比例式,求出EF即可．【详解】解:如图:四边形是矩形,,又,,,是的垂直平分线,,,又,,,,解得,,四边形是矩形,,,,是的垂直平分线,,,在和中,,,,．故答案为:．【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用,掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．22．【分析】连接AA′,根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°,∠BA′O=135°,OA=OA′=AB=2,再根据等腰三角形的性质,结合已知条件得出旋转角,然后利用三角形的性质和勾股定理得出答案;【详解】解:连接AA′,∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到正方形OA′B′C′,连接BC′,当点A′恰好落在线段BC′∴∠OA′C′=45°,∠BA′O=135°,OA=OA′=AB=2,∴∠OA′A=∠OAA′=,∴∠BAA′=,∴∠ABA′=∠AA′B=,∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A,∴,∴,∠A′AB=30°,∴△OAA′为等边三角形,∴AA′=AB=2,过点A′作A′E⊥AB于E,∵∠A′AB=30°,则A′E=,AE=,∴BE=,∴A′B=,∵A′C′=,∴BC′= A′B+ A′C′=;故答案为:【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理,解题的关键是得出旋转角得出△OAA′为等边三角形．23．【分析】先作出图形,根据是的中点,平分可知,根据将军饮马知识即可求出最小值,当P与点D重合时求出最大值．【详解】如图,连接,是的中点,AE平分设点到、的距离为,点到的距离为AE平分(角平分线上的点到角的两边的距离相等)是等腰三角形是的中点, AE平分(三线合一)又四边形是菱形是等边三角形已知菱形的面积为设菱形的边长为则解得:关于对称+则+最小值为:当点P与点D重合时+最大过作垂足为四边形是菱形是的中点, ,在中则+最大为:【点拨】本题考查了菱形的性质,等腰三角形性质,三线合一,勾股定理,线段和最值问题,由于题目没有给图形,能够根据题中信息正确的作出图形,并判断出是等边三角形是解题的关键．24．【分析】过点F作FM⊥AC于点M,由折叠的性质得FG=,∠EFG=,EF=AE=1,再证明,得,,进而即可求解．【详解】解:过点F作FM⊥AC于点M,∵将四边形沿直线翻折,得到四边形,当点G恰好落在线段上,∴FG=,∠EFG=,EF=AE=1,∴EG=,∵∠FEM=∠GEF,∠FME=∠GFE=90°,∴,∴,∴=,,∴AM=AE+EM=,∴．故答案是:．【点拨】本题主要考查折叠的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．25．【分析】知道和是角平分线,就可以求出,的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD,在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半,再求出DE,得到．【详解】解:的垂直平分线交于点F,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)∴∵,
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