7种初中数学常用数学思想及典题赏析
http://kuailexuexi.net/data/attachment/forum/20240912/1726078069120_0.webp德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。#数学#
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不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著名哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质，又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。
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那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其他科学中，都被广为使用。
一、整体思想
整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。
解析：把“a-b”看成一个整体代入，2a-2b-1=2(a-b)-1=5。
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二、方程思想
方程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成方程或不等式，通过建立方程模型来解决实际问题。
例2 一个凸多边形的内角和是外角和的2倍，它是____边形。
解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是(n-2) 180°。设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2)180°=2×360°，解得n=6。
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三、函数思想
函数的思想是用运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从而建立函数模型，如一次函数、反比例函数、二次函数等，解决实际问题。
例3 某市出租车收费标准：不超过3千米计费为10.0元，3千米后按2.4元/千米计费。
（1）当路程表显示7千米时，应付费多少元？
（2）写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式。
（3）小明乘出租车从家到人才市场，付费34元，求小明的车程。
解析：（1）当路程为7千米时，费用为10+（7-3）×2.4=19.6元。
（2）当x≤3时，y=10；当x≥3时，y=10+(x-3)×2.4，即y=2.4x+2.8。
（3）当y=34时，有2.4x+2.8=34,即x=13。答：小明的车程为13千米。
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四、转化思想
转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。
解析：把分式方程去分母转化为整式方程即可。
两边乘（x+3）(x-1)得：2(x-1)=(x+3)，
即2x-2=x+3，
解得x=5。
经检验：x=5是方程的解。
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五、类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行对比，如果发现它们有共同特质，可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用，类比研究反比例函数的图象、性质及应用。
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六、数形结合思想
数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化、具体化。“数无形，少直观，形少数，难入微”，利用“数形结合”可使要研究的问题化难为易，化繁为简。
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七、分类讨论思想
分类讨论就是把研究对象按同一分类标准分成几个部分或几种情况，然后逐个解决，最后予以总结做出结论的思想方法，其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的策略。
例6 若等腰三角形的一个内角为70°，求它的顶角的度数。
解析：分类讨论：
（1）该内角为顶角时，顶角为70°。
（2）该内角为底角时，则顶角为：180°-70°×2=40°。
故顶角为70°或40°。
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