如何证明模Z^N 不同构于自由模 Z^(⊕N)

Gosse · 发表于 2025-2-9 12:32:32

提示要证明这两个模的基数不相等：如果是有限集，那么Y^X基数就是(#Y)^(#X)，现在是无限集，由命题“若X, Y 是可数的，则笛卡尔积X x Y 是可数的"+归纳法有Z^N是可数的，后者Z^(⊕N)就该是不可数的，咋证明？

Gosse · 发表于 2025-2-9 13:08:21

楼主试图证明：”Z^(⊕N)的子集{α：N --> {0, 1} | α(n) ≠ 0 仅对于有限个n∈N成立}不可数来证明Z^(⊕N)不可数“

Gosse · 发表于 2025-2-9 15:32:24

证明哪里不对？

Gosse · 发表于 2025-2-9 16:54:47

错了，Z^N不能用归纳法，用康托尔对角线法有Z^N是不可数的，那么就要证明Z^(⊕N)是可数的，问题是构造和N之间的双射呢？

柠萌小姐 · 发表于 2025-2-9 18:03:45

#(Z^N)=ℵ_0^ℵ_0≥2^ℵ_0=c
实际上还有ℵ_0^ℵ_0≤(2^ℵ_0)^ℵ_0=2^(ℵ_0·ℵ_0)=2^ℵ_0，所以#(Z^N)=ℵ_0^ℵ_0=2^ℵ_0=c
另一边Z^(⊕N)=∪_n Z^(⊕n)，其中Z^(⊕n)同构于Z^(⊕N)中第n+1项开始全部为0的部分
所以#(Z^(⊕N))≤Σ_n #(Z^(⊕n))=Σ_n ℵ_0^n=Σ_n ℵ_0=ℵ_0·ℵ_0=ℵ_0
再加上#(Z^(⊕N))≥#Z=ℵ_0有#(Z^(⊕N))=ℵ_0

如何证明模Z^N 不同构于 自由模 Z^(⊕N)

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