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发表于 2025-2-17 13:09:02
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通过数形结合的方式，（设a为定义域，b为值域）我们可以发现范围一直在扩大
就好比：①a≤0（我们可以推出）②a≤5 ①是小范围，②是大范围，所以①是②的充分不必要条件
如图，我们列出原式的条件，然后推出a，b的范围（实际上我们是由小范围推出了大范围，范围因此扩大）
在由a，b的范围推出4a-b的范围，范围再次扩大，所以正确答案其实包含在这个范围里，只是不够精确罢了
（提示：a，b的可行域＜a+b与a-b联立的可行域【交集】＜a+b与a-b的可行域【并集】）
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【图1】我们来探究一下为什么范围变大答案：相互制约→相互独立
例：当a＝1.5时，黑线b＝0.5，蓝线b＝1.5，（图里没标全，自己算）为什么会造成这个差距呢？
因为在条件中ab之间是相互制约的，也就是说，当a＝1.5时，b根本取不到1.5！b只能取到0.5。
也就是说当a最小的时候，b不可能最小！a取最大的时候，b也不能最大。但把它单独求出的时候就消除了这个限制
（蓝色阴影都是条件因a+b与a-b联立而被制约而取不到的数）
因为条件是a+b，a-b的式子联立，a会影响b，b会影响a。单独拆分，就等于消除了这种影响，可行域当然会变大
（即蓝色+红色阴影部分是消除了a与b之间约束的a，b可行域）
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【图2】接下来探究下一个，相互独立→相互制约
我们用一个a，b的可行域（不同于题目条件的a，b）求出a+b与a-b联立的可行域（a，b的可行域＜a+b与a-b联立的可行域【交集】＜a+b与a-b的可行域【并集】）
即a和b由最开始的独立（a和b都有最大值）转变为相互制约，即自从a+b与a-b联立之后，（a和b都不能同时取最大值）
若再用同向可加性求出的单独变量，则会消除掉这种约束，令范围更大（图中并没有画出，省略，可自行脑补）
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∴不等式同向可加具有充分不必要性：只能从小推大，不能从大推小
所以a，b的范围利用同向可加性求出a+b与a-b联立的范围没问题，是小范围推出大范围（✔）
用a加b与a减b联立的范围利用同向可加性求出a，b的范围就出现问题了，因为想用大范围推出小范围（✘）
因此，如果我们如果重复使用同向可加性，会导致范围越来越大，∴我们一般就用一次来求最值
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这种题目推荐使用
换元法：把a+b与a-b视作x，y来算，再反过来求a与x，y的关系，b与x，y的关系
待定系数法：设4a-b＝m（a+b）与n（a-b）…
遇到类似求a+b/b的可使用分离常数…
【以上是我在查阅诸多我能看得懂的资料再加上一些自己的想法，如有错漏/逻辑不通之处，欢迎指出(｡･ω･｡）】
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