集的对等，可列集

荆怡嘉

为什么可以不妨设

怀半兰

在数学证明中，"不妨设"是一种常用的假设方法，它允许我们为了简化问题的讨论而做出某些特定的假设。这些假设通常不会影响最终结论的正确性，因为它们只是简化了问题的表述或证明过程，而没有改变问题的本质。
在你提供的证明过程中，"不妨设B⊆A"意味着我们假设集合B是集合A的子集。这个假设是为了简化证明，因为如果B是A的子集，那么A和A∪B在元素上没有区别，这样可以更容易地讨论它们之间的关系。
另外，"不妨设A∩B=0"意味着我们假设集合A和集合B没有共同元素。这个假设是为了简化证明，因为如果A和B没有交集，那么在讨论它们的并集时，我们不需要考虑交集部分，这使得证明过程更加直接。
在数学证明中，这样的假设通常基于以下理由：
1.  不改变问题本质 ：假设不会改变问题的基本结构或结论，只是暂时忽略一些不影响结论的复杂性。
2.  简化证明 ：通过假设可以简化问题的表述，避免不必要的复杂性，使证明过程更加清晰和直接。
3.  一般性结论 ：即使在特定假设下证明了结论，通常这个结论也可以推广到更一般的情况，因为假设只是为了简化证明过程，并非结论成立的必要条件。
在你提供的证明中，通过这些"不妨设"的假设，作者可能试图简化集合之间关系的讨论，从而更直接地展示A∪B与[0,1]对等的证明。

杨令慧

“不妨设”可以理解为主动限定一个“最难”的情况，只要这个最难的情况成立，那么一般的情况也就是成立的。
举个简单的例子，比如要证“1000减去任意的三位数都是正数”，那就可以“不妨设这个三位数是999”，只要这个命题对最大的三位数成立，那就对任意的正整数都成立。
具体到你这道题，“最难的情况”分别是“A去掉尽可能多的元素”和“A并上尽可能多的元素”，只要证明了“不妨设”所说的情况，那么命题就对任意的情况都成立。