自开难题贴

苌语海

计划明年兼职一份和高中数学相关的工作，需要收集整理题目制作讲义，特来开贴寻找难度高或者解法巧妙的题目，以及列出我个人觉得不错的题。
我自己差不多有10年没有正儿八经刷题了，解题能力早已滑坡，所以也算是复健练手

苌语海

先来两道陈年不等式
几何方法
1. x,y∈R, x+y=3(sqrt(x+1)+sqrt(y+2)), 求min(x+y).
解：令u=sqrt(x+1), v=sqrt(y+2), 即求(u^2+v^2-3)min
原式<=>3u+3v=u^2+v^2-3
<=>(u-3/2)^2+(v-3/2)^2=15/2
即求(0,0)到圆心为(3/2,3/2), 半径为sqrt(15/2)的圆在第一象限的部分任意一点的线段的最小值的平方-3
作图可知当u=0或v=0时u^2+v^2-3取到最小值11/2+3sqrt(21)/2
即当x=-1或y=-2时, x+y取到最小值11/2+3sqrt(21)/2.
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代数变换
2. (2011 USAMO Q1) a,b,c∈R+, a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2<=4. 证明∑(ab+1)/(a+b)^2>=3.
证明: 令u=a+b, v=b+c, w=c+a, 则条件转化为∑u^2≤4.
∑(ab+1)/(a+b)^2≥3
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)/4+1)/u^2≥3
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)+4)/u^2≥12
<=>∑((u+v-w)(u+w-v)+∑u^2)/u^2≥12
<=>∑(2u^2+2vw)/u^2≥12
<=>2∑vw/u^2≥ (AM-GM)
等号当且仅当vw/u=wu/v=uv/w, 即a=b=c时取得.

苌语海

3.
/p/9045593764的不等式
a, b, c>0，a+b+c=3，求证(1/a+1/b+1/c)^2≥3(a^2+b^2+c^2)
首先证∑1/(ab)>=∑a^2:
<=> 3>=abc(∑a^2)
由(ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2>=0得
∑(a^2*b^2)>=abc(∑a)
<=> (∑ab)^2>=3abc(a+b+c)=9abc
均值得9=(∑a)^2=(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)>=3*((a^2+b^2+c^2)*(ab+bc+ca)^2)^(1/3)>=3*((a^2+b^2+c^2)*9abc)^(1/3)
两边同时立方得27>=9abc(∑a^2)
即证
由于∑1/a^2>=∑1/(ab)，显然原题得证。
附∑1/a^2>=∑a^2证明（arqady，收录于陈计《代数不等式》）：
去分母齐次化即(∑a)^4*(∑a^2*b^2)>=81(∑a^2)Πa^2
<=> ∑(a^6*b^2+4a^5*b^3+4a^5*b^2*c+3a^4*b^4+12a^4*b^3*c+10a^3*b^3*c^2-34a^4*b^2*c^2)>=0
由均值a^6*b^2+a^6*c^2+4a^5*b^3+4a^5*b^2*c+4a^5*c^2*b+3a^4*b^4+3a^4*c^4+12a^4*b^3*c+12a^4*c^3*b+10a^3*b^3*c^2+10a^3*c^3*b^2>=68*(a^272*b^136*c^136)^(1/68)=68a^4*b^2*c^2，即证

苌语海

4.考自己的古找到的一个贴：
p/2492547583
各种不等式，不过难度一般

苌语海

5.作为一个拓展（高数知识），很多工整且有约束条件的不等式可以通过拉格朗日乘数法求极值或取等条件，这其实算是一元函数求导求极值方法向多元函数的拓展。另有KKT条件，见以下文章：
https://www.cnblogs.com/mo-wang/p/4775548.html
虽然在高中不让直接用来解题，但是在没有思路或者想要验证极值正确性的时候不妨试一试

霜宏义

来楼主尝试一下 谢谢

苌语海

6.函数(迭代？)：p/9102580479
7. http://www.tanyakhovanova.com/coffins.html
趣题贴

郭惜天

抖音上有很多好题目，解法很是巧妙。
x^5+10x^3+20x-4=0

苌语海

7.前段时间在吧里以及最近在YT上看到一堆三角函数极值（或者条件为x^2+y^2=1的极值问题），发现一个宝藏贴p/8059710131
YT看到的是求2/(sinx)+3/(cosx)在0<x<pi/2的最小值