小乐数学科普：小学数学竖式计算类型归纳大汇总（完整版）

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#小学数学思维训练#

前言

竖式计算加减乘除四则运算

竖式计算，是数学历史长河中最源远流长，也最基本的一个思维方式工具，蕴含了基本数学运算的思想。尽管我们可能在小学时就已经学过，并已经见惯不惯，习以为常，乃至驾轻就熟，但实际上竖式计算并不算得上很简单甚至浅薄。往深度来讲，竖式计算，是计算机中的位运算的思想基础，也是数学中的单项式、多项式、p进制、线性代数、线性空间、群环域等代数概念的思想启蒙之处。往广度来讲，竖式计算思想，除了应用在数字、多项式等代数对象的加减乘除之外，像正整数的开方运算，印度乘法，中国古代算筹、算盘，以及程序算法中的分块计算或分治、大数据并行算法，都涉及竖式计算的原始思想。

而加减乘除四则竖式计算是小学数学的一个基本且重要的内容，而且对每一个初学者来说，有一定技巧性的要求和难度。小乐通过本文系统性讲完所有分类情况，助你按图索骥，彻底理清竖式计算的要点和思想。

一、竖式计算加法

竖式计算加法

先从最简单的加法开始，加法是数学中最基本的运算之一，从数字加法开始，我们会学到自然数的加法，小数的加法，这两类数的加法是可以进行竖式计算的（另外，中学里会学多项式的合并同类项，其实也可以进行竖式计算）。竖式计算加法的要点，是记住两条核心内容，一是对齐，二是进位。

竖式加法数字对齐，小数点对齐

数字对齐，一般指的是数位对齐，例如，个位与个位对齐，十位与十位对齐，百位与百位对齐，而遇到小数加法时，小数点要先对齐。而遇到小数与整数相加，要意识到整数，可以看成特殊的小数（小数点，在个位数之后，被“隐藏”了），因此这时可以先将个位数对齐。

竖式计算加法进位

加法进位，是因为我们通常使用的是十进制加法，因此需要满十进一（如果是其它进制，例如2进制，就需要满2进1，这在计算机编程中会涉及到）。由于两个数位中的数字（每个都是0~9之间）相加，结果介于0到18之间，因此加法竖式计算时，进位最多只可能进1（这与竖式计算乘法时有所不同）

二、竖式计算减法

减法是加法的逆运算，也就是一种反方向的计算，过程正好相反。不难发现，竖式计算减法的要点，是记住两条核心内容，一是对齐，二是借位（退位）。

对齐好理解，跟加法类似，小数点对齐，个位对齐。

竖式计算减法，借一当十

借位，即两数位上的数字不够减（小减大）时，要从左边相邻数位“借一当十”来用。

竖式计算减法借位

如果左边相邻数位上的数字是0（即没有1可以借），则要继续往左去借。这里需要记住的是，相邻两数字，左边的数字中的1，代表右边数字中的1的10倍（即当右边数字是个位时，左边的1当成10来用）；左边的数字中的2，代表右边数字中的2的10倍（即当右边数字是个位时，左边的2当成20来用）

三、竖式计算乘法

数字相乘，类似于加法，同样要注意，对齐和进位。但乘法中的对齐与进位与加法，有所不同。

竖式计算乘法，最后的非零数对齐

乘法数字对齐，需要先将末尾数字对齐（尾零不考虑在内，即只分别考虑两数字最后一个非零数字，进行对齐），而不像数字加法那样（小数点对齐）。这是因为数字乘法当中，出现0与某个数字相乘，结果仍为0，因此没有计算的必要。

竖式乘法小数点的位置

而乘法运算结果中小数点的位置，也需要格外重视，因为不像加法运算结果中小数点的位置一直保持对齐。乘法结果中小数点的位置，是根据两个乘数的小数位数（忽略小数点后面的最后一个0或连续的尾0）相加，得到的。

竖式计算乘法进位

乘法进位，与加法（只可能进1）略有区别，是根据两个数位相乘，得到两位数的十位数来定的（十位上的数字可能不是1，而超过1）。

四、竖式计算除法

竖式除法，是四则运算中最为复杂，极易出错的内容。难度在于除法运算，涉及乘法、减法、加法，是对竖式计算能力掌握程度的综合考量。在不同的国家文化中，竖式计算大相径庭，例如阿拉伯国家的竖式计算，由于阿拉伯文文字从右往左的书写习惯，会与我国小学生学习的竖式计算格式有很大不同。不同国家对竖式计算中除号的写法，也有所差异，但数学本质上是一致的。

竖式计算除法的要点，除了要记住涉及减法的对齐，借位（退位）之外，还要记住除法特有的试商、等比例缩放。

竖式计算除法试商

试商，是尝试出一个数字（商），满足其与除数相乘，结果尽可能接近（但不大于，即不能超过）余数（第一次试商时，余数就可以认为是被除数）。试商成功之后，使用减法，得到新的余数。如此反复，直至最终余数为0（除得尽时），或者计算到一定精度（除不尽时，按要求计算到小数点后几位）。

竖式计算除法缩放

等比例缩放，是指被除数与除数，如果满足一些明显的关系特征，为了简化竖式计算，有必要进行同时放大倍数或者缩写倍数（一般是10的幂次倍）。例如：0.45÷0.25，我们可以简化为45÷25（被除数与除数，同时放大100倍，或者当分数来理解，分子分母同时乘以100）。再例如，45000÷125000，我们可以简化为45÷125（被除数与除数，同时缩小1000倍，或者当分数来理解，分子分母同时除以1000）

小数点的位置，也是竖式计算除法时需要重点考虑的，为了简化起见，我们一般只允许被除数中有小数点（如除数是小数，我们通过同时对被除数和除数放大倍数，让其中除数化成整数），这样最终商的小数点位置，就取决于被除数中小数点的位置。

当然，要注意，在被除数与除数进行等比例缩放之后，最终得到的余数，往往并不是真正的余数（而是相差10的幂次倍），要注意根据与小数点位置的距离，来判断出真正的余数。

另外，竖式计算除法，还与利用短除法求多个数字的最大公因数、最小公倍数，以及辗转相除法计算两个多项式的最大公因式，有一些联系，但差异较大，要理解清楚。