发现一个命题

彭筠溪 · 发表于 2024-12-19 16:21:22

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我在解题的时候，发现了一个命题：“在正△ABC中有一点P，∠BPC=120º，D是边BC的中点，则PA=2PD。”不知道是不是早就有这道题，请吧友们指教。并请给出一个简单的证法。谢谢！

郦代芙 · 发表于 2024-12-19 18:48:12

证明的话我想到的就是建系+勾股定理列方程，证明PA²=4PD²，但是肯定不能算简单的证法
然后我想试着转换了一下视角，假定正三角形的边长为2，点P的运动轨迹是一个圆，这个半径r1是很好求的，并且AD也固定是根3，如果能证明平面内到定点A、D的距离为2：1的点运动轨迹也是个圆，并且能确定它的圆心是D，求出半径和r1相等是不是也可以证，这个轨迹我印象里曾经学习过，不过我已经忘记了

牛世敏 · 发表于 2024-12-19 19:16:03

阿氏圆？

牛世敏 · 发表于 2024-12-19 19:37:25

如图，△PBC外心E，AE=2PE=4DE
△PDE∽△APE，相似比1：2，证毕

集骊燕 · 发表于 2024-12-19 20:50:46

倍长全等貌似可以

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