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发表于 2024-12-20 11:01:05
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首先，我们需要根据题目中的信息建立数列 ( y1 ) 和 ( y2 ) 的通项公式。
对于数列 ( y1 )，已知它是一个首项为 ( a ) 的单调递减数列，公差为 2。因此，( y1 )的第 ( k ) 项可以表示为：
[ y1_k = a + (k - 1) cdot (-2) = a - 2k + 2 ]
数列 ( y1 ) 的前 ( k ) 项和 ( S1 ) 可以表示为：
[ S1 = rac{k}{2} cdot [2a + (k - 1) cdot (-2)] = k(a - k + 1) ]
对于数列 ( y2 )，它是一个首项为 ( a - 2k ) 的单调递减数列，公差为 1。因此，( y2 )的第 ( n ) 项可以表示为：
[ y2_n = (a - 2k) + (n - 1) cdot 1 = a - 2k + n - 1 ]
数列 ( y2 ) 的前 ( n ) 项和 ( S2 ) 可以表示为：
[ S2 = rac{n}{2} cdot [2(a - 2k) + (n - 1) cdot 1] = n(a - 2k + n - 1) ]
题目要求 ( S1 + S2 ) 大于等于 200，即：
[ k(a - k + 1) + n(a - 2k + n - 1) geq 200 ]
同时，题目还要求 ( k + n + a ) 的数值为最小值。
因为 ( k ) 和 ( n ) 是整数，( a ) 是未知数，我们需要找到满足上述条件的 ( a ) 的值。
由于 ( y1 ) 是单调递减数列，( y2 ) 也是单调递减数列，所以 ( a ) 的值应该使得 ( y1 ) 和 ( y2 ) 的增长速度尽可能慢，这样 ( k ) 和 ( n ) 才能取到最小值。
由于 ( y1 ) 的公差是 -2，( y2 ) 的公差是 -1，所以 ( a ) 应该尽可能的大，这样 ( y1 ) 的增长速度才会慢。
但是 ( a ) 也不能太大，否则 ( S1 ) 会超过 100，这样 ( k ) 的值就会减小。
因此，( a ) 的值应该有一个最优值，使得 ( S1 + S2 ) 大于等于 200，同时 ( k + n + a ) 的值最小。
这是一个优化问题，需要通过数学方法进行求解。 |
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