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发表于 2025-2-13 14:26:08
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按照向量乘法的步骤可以这样子证
由于(b₂c₃-b₃c₂)²+(c₂a₃-c₃a₂)²+(a₂b₃-a₃b₂)²= (a₂²+b₂²+c₂²)(a₃²+b₃²+c₃²)-(a₂a₃+b₂b₃+c₂c₃)²= 1×1-0 =1
所以b₂c₃-b₃c₂, c₂a₃-c₃a₂, a₂b₃-a₃b₂不全为0
又由 a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0, a₁a₃+b₁b₃+c₁c₃=0可以证明存在某个数k，使a₁=k(b₂c₃-b₃c₂), b₁=k(c₂a₃-c₃a₂), c₁=k(a₂b₃-a₃b₂)
并且 1=a₁²+b₁²+c₁²=k²，所以k=±1
则 a₁²=(b₂c₃-b₃c₂)²= (b₂²+c₂²)(b₃²+c₃²)- (b₂b₃+c₂c₃)² = (1-a₂²)(1-a₃²)-(-a₂a₃)² = 1-a₂²-a₃²
也就是a₁²+a₂²+a₃²=1 |
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