球的体积表面积关系推导

承新竹

一个高中生想自己不学的情况下证明课本上的几乎所有公式，学到球的时候就有了这个帖子
用语不严谨仅表示思路，结合极限可以严格证明，主要目的是为了让大部分人听懂
如果把一个圆用很多个半径分割，会近似的得到一堆三角，相似的，如果把球这么分割，就会得到一堆椎体，由于这些椎体被我们分得很小，那这些椎体的高就近似R，这些椎体的体积和就是它们的底面积和×R÷3，综上，球体体积=球表面积×R/3
楼主在想到这点之后，花了半个小时又推出了球的体积公式（祖庚原理，一个圆柱挖去一个半径为r的半球和一个高和低半径都是r的圆锥，证体积相等
全程没有任何外力协助，仅靠自己走神一节信息课，顺便下课还得到了老师的惊叹，高二的楼主都觉得自己伟大
另外别看我推的简单，但是从好几种思路中不断筛选，找到这个可是很费时间的。

择一人深爱

悟性不错

谌秀雅

个人感觉先推表面积，再用你的公式推体积会比先推体积更好理解一点，毕竟涉及知识点一样。不过高中就研究这个，你真的很厉害

买依薇

思路是对的，但是这种不算严谨

买依薇

分下来的小椎体和真椎体还是有区别的，你怎么证明多个误差加起了趋近0

买依薇

建议用阿基米德的穷举法，分别从稍大的和稍小的逼近，最后证明两个是一样的。这是非分析语言里比较严谨的

买依薇

另外自己证明课本上知识不太现实，后面还有正态分布和卡方独立检验，这不可能仅用初等数学证明

师鸿骞

这个思路有点新啊，以前就想过球体积4/3πr^3和表面积4πr^2有没有什么初等的关系，之后学到体积求导就是表面积后就没继续思考下去了，现在我的疑惑终于解决了，感谢lz

储思枫

那么如何证明椎体体积是柱体体积的三分之一呢

秘思萱

有趣。不过都高二了，独立建造一个欠严谨的极限符号系统然后恰好叠出某种意义的定积分再靠一大片草稿纸手算也不是不行
。只能说你在常用语言转化这事上有点水平。
以后你会确定这种小问题可以靠算式的单向化简变化用算力解决。问题只是在于独立设计极限或积分的符号系统。考虑到有物理课以及卡西欧上自带的积分功能可以提供理解，能够中学时候独立施展这招的同学应该不在少数。