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发表于 2024-9-11 14:06:47
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如果σ(n)=3^k，当n＞1时，设n的一个素因子p和正整数r满足p^r || n
由σ(p^r) | σ(n) 可知σ(p^r)也是3的幂次，设σ(p^r)= (p^(r+1)-1)/(p-1) = 3^l，因为r≥1，所以左边≥p+1＞1, 右边3^l＞1，l是正整数
因为3 | p^(r+1)-1，所以3和p互素，p≠3
(1)如果p≡-1(mod 6)，由p^(r+1)≡(-1)^(r+1)≡1(mod 3)可知r+1是偶数
这时(p^(r+1)-1)/(p-1) = (p^[(r+1)/2] -1)/(p-1) * (p^[(r+1)/2]+1)
其中(p^[(r+1)/2] -1)/(p-1)是整数，p^[(r+1)/2]+1 是偶数，所以(p^(r+1)-1)/(p-1)是偶数，不可能是3的幂次，无解
(2)如果p≡1(mod 6)，由LTE 引理，v₃[(p^(r+1)-1)/(p-1)] = v₃(r+1)
(p^(r+1)-1)/(p-1)是3的幂次，所以r+1≥(p^(r+1)-1)/(p-1)
但是(p^(r+1)-1)/(p-1)＞p^r＞2^r≥r+1，所以也无解
(3)如果p=2，2^(r+1)-1=3^l
当r≥2时模8可得3^l≡-1(mod 8)，无解，所以只可能r=1
综上所述，n不可以有2以外的素因子，含2的次数也只能是1，所以σ(n)=3^k 的整数解只有n=1, k=0 和n=2, k=1 这两组 |
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