让模型思想在学生的思维中扎根 ——基于小学数学的思考
作者： 窦长颖(北京市第八十中学牌坊分校) ，本文参与遇见数学＃数学蒲公英＃第 3 次征文活动。【摘要】数学模型是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中提出的十个核心概念之一，是一种数学的基本思想。数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，也就是让数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的联系桥梁的思想。数学模型思想针对的不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述和研究的事情。模型思想的建立是一个循序渐进的过程，真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。所以，在教学中，教师要引导学生经历从实际情境中抽象出数学问题、解决问题的过程，使学生初步形成模型思想。模型思想的教学，不是作为像具体知识点那样可以单独作为一个数学内容来进行专门教学的，而是融入到具体数学知识的教学过程中，让学生在经历问题学习过程逐渐领悟的。同时，模型思想的建立，需要经历一个比较复杂的过程，需要老师们长时间的重视和不断渗透，针对具体问题进行教学，学生才能经历一个从模糊到清晰的领悟过程，以促进能力的提升和数学素养的发展，也为学生今后深入学习数学奠定基础。
【关键词】小学数学；模型思想；培养策略；数学素养；
数学模型是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中提出的十个核心概念之一，是一种数学的基本思想。史宁中教授在《数学思想概论（第 1 缉）》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”模型思想作为一个概念，已经日益为数学教师所熟知，而在课堂上的具体体现，则出现了百花齐放的状态，当然其中也出现了并不罕见地贴标签的情形，基于这样的实际，本文对模型思想以及培养策略进行了深度的解读。
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一、对模型思想的理解
（一）模型
什么是模型呢？许多数学教育工作者认为，一个数学表达就是模型，比如，方程就是模型，甚至一个代数式就是模型。广义上说，这样理解模型是可以的，但更确切地，单纯的数学表达是模式而不是模型。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。
（二）模型思想
在《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中，是这样解释模型思想的：“是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。” 由这个解释可以看到，模型有别于一般的数学算式，模型也有别于通常的数学应用，模型是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。必须强调的是，模型的重要性往往不是取决于数学表达是否完美，而是取决于对现实世界的解释。
数学模型思想是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，也就是让数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的联系桥梁的思想。数学模型思想针对的不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述和研究的事情。
在数学教学中，渗透数学模型思想，就是针对抽象的数学概念和命题，利用学生可以理解的形象、直观、具体实例来说明，通过实例来帮助理解抽象的数学内容。在小学数学中，通过一个典型问题的解决，带动相关问题的解决，由一到一类，渗透一种数学规律的思想，就可以叫做模型思想。
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二、小学数学中的相关模型
在小学数学教材中，模型无处不在，小学生在数学学习中获得了大量的数学模型。小学数学中常蕴含的数学模型有：数概念模型，比如分数；运算模型，比如加法、减法、乘法、除法的运算；方程模型——方程是建模思想的重要体现；几何图形模型——每一种图形本身就是一种数学模型，平面图形和立体图形的周长、面积以及立体图形的体积的计算公式就是模型化思想渗透的重要途径。只有这样，学生才能将实际问题提炼成数学问题，运用所学的数学模型加以解决。
▌（一）总量模型
这种模型讲述的是总量与部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列的关系。因此在这种模型中，部分量之间的运算要用加法。如果单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这个模型为加法模型。这种模型具体表示为：总量=部分量+部分量，或者用直观图来表示，两个整数 a 和 b 相加时，把相应的方框两端连线并去掉中间的相隔线，加法的意义就通过这个直观图表示出来了。比如：
显然，模型中的部分量不局限于两个。可以用这个模型来解决现实生活中一类涉及总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，计算图书室中各类图书的总和是多少，计算在商店中买几种商品的总花费是多少，计算在年级中各个班同学数的总人数是多少……还可以针对现实生活中具体问题背景的不同，引导学生灵活地使用这种模型，比如，可以在“部分量”那里讲一些故事，也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量=总量-部分量。
▌（二）乘法模型
a 和 b 相乘，把两个方框中的点排成 a 行、b 列个点。构成一个新方框：
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乘法模型中包括多种情况，如路程模型。这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：距离=速度 × 时间。再比如，解决“总价=单价 × 数量”的问题，解决总数=行数 × 列数”的问题等。显然，在具体使用这类模型的时候，可以用时间讲一些故事，比如，甲比乙晚出发多长时间；还可以用速度讲一些故事，比如，某人在行程途中改变速度等。也可以用距离讲一些故事，把乘法变为除法：时间=距离 ÷ 速度。
▌（三）植树模型
这类模型的问题背景是：在直线上或者平面上有规律地挖一些洞（也可以假设有一些洞），在洞中植树。在一般情况下，植树的数量小于洞的数量，这样就可以提出两类问题：一类问题是按一定规律在一部分洞中植树，问可以植树多少棵；一类问题是先确定植树的棵数，然后探索植树的规律。可以想象，在现实生活中这类问题是层出不穷的，也是非常有趣、非常有意义的。比如，要在一条道路沿线设立若干个加油站，就可以把道路的里程看成洞，把加油站看成树；再比如，在一个区域要设立若干个商业点，就可以把居民住宅区看成洞，把商业点看成树。特别是在现代社会这个模型被广泛应用于资源调查或者环境调查，因为可以设想调查点就是树，为了更加经济科学地进行调查，就需要合理地设计可以被用来植树的洞。
显然，在平面上设计这类问题要比在直线上困难得多，因此在小学阶段的数学教学中，问题的背景应当主要是针对直线而不是平面。
▌（四）工程模型
这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要 A 天和 B 天，考虑两个工程队合作完成这个工程所需要的时间。解决这样的问题，一个简便的方法是假设工程为 1，因为有了这个假设就可以确定甲工程队和乙工程队一天分别能完成工程的：1/A 和 1/B。正因为如此，人们又称这样的问题为归一问题。当然，在具体使用这个模型的时候，可以假设两个工程队合作会提高效率或者降低效率；也可以假设甲工程队先工作几天之后，乙工程队再参加；还可以假设有三个或者更多的工程队来完成这个工程。这种模型还可以包括传统的注水问题：有几个水管向一个池子中注水，还可以考虑一边注水一边放水的情况等。
▌（五）其他模型
1.比例关系模型
如果给出两个量数据变化的表格，学生通过观察和计算有可能发现这两个量的关系：两个变量成反比例关系还是成正比例关系。这是建立比例关系模型。
2.体积关系模型
利用若干个相同的小正方体拼摆成一个长方体，探索长方体中含有的小正方体的个数与长方体的长、宽、高的关系，进而归纳出长方体的体积公式，建立模型 ，这就是建立提及关系模型的过程。 有了这些模型，就可以建立方程等去阐述现实世界中的“故事”，就可以帮助我们去解决问题。可以看到，使用模型的过程可以充分发挥人的想象力。这个想象力主要表现在构建现实背景，想象背景中事物中的各种数量，想象各种数量关系之间的各种可能组合。因此，在这样的教学过程中，不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，还要培养学生发现问题和提出问题的能力。
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三、小学数学模型思想的培养策略
模型思想的建立是一个循序渐进的过程，真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。所以，在教学中，教师要引导学生经历从实际情境中抽象出数学问题、解决问题的过程，使学生初步形成模型思想。
（一）根据学生的年龄特点逐步渗透模型思想
模型思想的建立是一个循序渐进的过程，真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。所以，教师在教学中要注意根据学生的年龄特点逐步渗透，引导学生不断感悟。 1.第一学段教学中引导学生借助直观模型解决实际问题。
用数学模型的思想来指导数学教学，不同的年级、内容、学习对象应该体现出一定的差异，但也存在着很大的关联性。
比如低年级教师在教学“5-2=3”这一环节时，可先通过具体情境图让学生说图意，理解有 5 个小朋友在浇花，走了 2 个小朋友，还剩下 3 个小朋友；然后再根据图意提出数学问题，引导学生列式解答；继而让学生用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆：（结合情境图和圆片说明)“5 个小朋友在浇花,走了 2 个,还剩 3 个”和“从 5 个圆片中拿走 2 个,还剩 3 个”,都可以用同一个算式（5-2=3）来表示。教师还可再让学生说一说这里的 5 表示什么？2、3 又表示什么？最后让学生说一说在生活中 5-2=3 还可以表示什么呢？学生可能会说“有 5 瓶牛奶，喝掉 2 瓶，还剩 3 瓶”，也可能会说“树上有 5 只小鸟，飞走 2 只，还剩 3 只”......
这个教学片段根据低年级学生数学学习的特点，由具体、形象的实例开始，借助操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义，渗透了初步的数学建模思想。模型意识的培养和建模方法的指导，要根据具体内容和具体年级有层次地进行。 2.第二学段教学中引导学生在解决实际问题中感悟数学模型思想。
在第二学段中，教师可以通过一些具体问题，引导学生通过观察分析，抽象出更为一般的模式表达。如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间和单价、数量、总价等关系式。
例如行程问题的教学中，教师教学时通过创设学生熟悉的情境，引导学生采用探究学习的方式，在提出问题、交流研讨、解决问题的基础上，总结出行程问题的解答方法，从何进一步体会速度、实践、路程之间的关系，提高解决数学问题的能力。
（二）引导学生在循序渐进的学习中感悟模型思想
学生感悟模型思想需要经历一个长期的过程。小学数学建模必须结合学生的实际水平分层次逐步推进，应当与正常教学内容同步。教学过程中要让学生循序渐进，逐步提高，让思维混乱的学生学会思考，让害怕数学的学生喜欢数学。
每一个从客观世界中抽象出来的数学概念和数学分支都是客观世界中某种具体事物的数学模型。例如，自然数 1 就是具体的一只羊、一头牛等的数学模型；而直线就是光线、木棍等的数学模型。这就要求教师把数学知识的来龙去脉搞清楚，把数学的构建过程展示给学生，让学生自己体会数学知识的形成过程及其作用。
如在教学 20 以内进位加法“9+6”时，教师创设情境，得出算式“9+6”，组织学生探究，学生基于各自的已有经验，得到以下五种模型。从 9 起，一个一个的数下去；9 与 1 相加得 10，再加 5；9 分成 5 和 4，4 与 6 相加得 10，再加 5；把 9 看作 10，6 里去掉 1；9 里拿出 5，6 里拿出 5，5 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 1。在学生分析算理的基础上，教师逐渐引导学生通过比较总结出计算 20 以内进位加法“凑十”的数学模型。在这一教学环节，学生在动手操作中，不仅体会到怎样探索求知的数学方法——转化法，而且在分析综合能力方面都得到了发展，正符合学生的思维发展规律。
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（三）经历数学活动的过程建立模型思想
“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中模型思想的基本要求，也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识与技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析和解决问题，培养创新意识。
在数学学习中，建立数的概念、认识运算、探索规律……都是学生主动获取知识的活动，都需要经历探索建立数学模型的过程。例如，利用若干个相同的 1 平方厘米的正方形测量一个长方形的面积引发猜测，到测量和探究几个不同长方形中含有 1 平方厘米正方形的个数与长方形的长和宽的关系，再到归纳出长方形的面积计算公式建立模型 ，学生经历了一个模型化的过程，实现了数学的“再创造”。又如，用方程解决实际问题，学生就要经历运用数学知识分析数量关系，建立数学模型和运用模型解决问题的过程。
如乘法分配律的教学，可以从“有一种新款童装，上衣每件 90 元，裤子每条 60 元，学校舞蹈兴趣组买来 8 套，一共花了多少钱？”从这样的生活问题入手，从解决现实问题的事理出发，逐步简约事理，去粗取精，通过提炼来突显基本内涵，运用数学方法归纳、概括本质属性，生成数学模型（一定的表达形式），具体步骤如下：
1.谁来说说解决这个问题时可以怎样想？（说事理）
先求出买 1 套童装（1 件上衣和 1 条裤子）所花的钱，再求买 8 套童装一共花的钱，或先分别求出买 8 件上衣与 8 条裤子的钱，再求买 8 套童装一共花的钱。
2.谁能用数量关系式来表示以上解题思路？（事理的数学概括）
（1 件上衣的钱＋ 1 条裤子的钱）× 套数＝一共花的钱，或 1 件上衣的钱 × 件数＋ 1 条裤子的钱 × 条数＝一共花的钱，即（1 件上衣的钱＋ 1 条裤子的钱）× 套数＝ 1 件上衣的钱 × 件数＋ 1 条裤子的钱 × 条数
3.列式计算。（事理向算理的过渡）
（90 ＋ 60）×8 ＝ 1200 或 90×8 ＋ 60×8 ＝ 1200， 即（90 ＋ 60）×8 ＝ 90×8 ＋ 60×8
4.同学们还能找出类似于（90 ＋ 60）×8 ＝ 90×8 ＋ 60×8 这样的等式吗？（算理的推广）
5.这样的等式有多少？列举得完吗？这些等式看上去各不相同，仔细分析，它们有共同之处吗？你能设法用字母替代具体的数将它表示出来吗？（算理的符号化——数学模型的形成）
（a ＋ b）×c ＝ a×c ＋ b×c，还可以用图形表示如下图：
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这样的建模方式，其基本特点可以用源于生活而高于生活来概括。这种高于体现在对生活事理的简约、提炼、概括和数学化的表达上。
总之，模型思想的教学，不是作为像具体知识点那样可以单独作为一个数学内容来进行专门教学的，而是融入到具体数学知识的教学过程中，让学生在经历问题学习过程逐渐领悟的。同时，模型思想的建立，需要经历一个比较复杂的过程，需要老师们长时间的重视和不断渗透，针对具体问题进行教学，学生才能经历一个从模糊到清晰的领悟过程，以促进能力的提升和数学素养的发展，也为学生今后深入学习数学奠定基础。
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