一道初中数学竞赛题，得到答案并不难，难的是过程
方程思想是中学数学最重要的思想之一，掌握方程思想可以帮助我们解决不少日常生活中的问题，而解方程就是对方程思想的最基本要求，也是中学数学考试的重点。本文和大家分享一道初中数学竞赛题。题目是：解方程x^3+x^2=392。http://kuailexuexi.net/data/attachment/forum/20241028/1730114974612_0.webp
看到题目后，不少网友表示这题并不难。他们的做法如下：
因为x^3+x^2=392，
所以x^2(x+1)=392；
又392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7+1)×7^2，
所以x^2(x+1)=7^2(7+1)，从而解得x=7。也就是说原方程的解为7。
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上面的做法对不对呢？答案对了，但是过程并不严谨。
这是一个一元三次方程，按理说应该有3个解，但是上面的解法只求出了1个解，并不没有说明为什么只有一个解。那么正确的解法应该是怎样的呢？
要解高次方程，因式分解是基本方法，所以我们首先将方程右边变为0，再进行因式分解。
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接下来进行因式分解。
x的指数出现了立方和平方，所以可以考虑立方和、立方差公式，也就是说需要将392分解成某个数的立方与平方之和的形式。
如何找到这个数呢？分解质因数，即：
392=2×2×2×7×7=8×7^2=(7+1)×7^2=7^3+7^2。
所以方程就可以变形为：
x^3-7^3+x^2-7^2=0。
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下面需要用到立方差公式进行因式分解。
下来看一下立方差公式：
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
对前面得到的方程分别用立方差和平方差公式分解因式，可以发现都出现了(x-7)这一因式，所以接下来再提公因式就可以彻底分解。
分解因式完成后，接下来只需要分类讨论即可。
①x-7=0时，x=7；
②x^2+8x+56=0时，因为△=64-224＜0，所以此时没有实数根。
综合上面讨论的情况，原方程的解就是x=7。
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对于第二种情况，有网友有不同看法。他们认为，既然是竞赛题，题目也没有说在实数范围内解方程，所以复数根也应该要算，否则很多竞赛题就没法做了。比如日本竞赛题：已知a^2+5a+25=0，求a^3的值。这道题a在实数范围内也是没有解的，所以竞赛题并不限定为实数。
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这样的看法有一定道理，但是有两个问题需要注意。一是初中阶段各种数学题一般是默认在实数范围内；二是日本那道竞赛题考查的也不是解方程，也就是说我们不需要解出a的值同样可以得到答案，因为我们可以采取整体代入的思想。这道题却不一样，考查的就是解方程，所以默认实数范围内。
这道题就和大家分享到这里，你有好题也欢迎分享！
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