admin 发表于 2024-9-6 02:05:35

看2022年上海中考数学压轴题,如何运用“乾坤大挪移”求解!

上海2022年中考数学的这道压轴题,很考学生的数学水平,是一道不可多得的好题,出得挺有水平的。今后随着“双减”政策的普及,恐怕很难再在中考数学卷中看到这样的好题了。

如图,在平行四边形ABCD中,P是线段BC的中点,联结BD交AP于点E,联结CE

(1)如果AE=CE,

i. 求证平行四边形ABCD是菱形;

ii. 若AB=5, CE=3,求线段BD的长;

(2)分别以AE,BE为半径,点A,B为圆心作圆,两圆交于点E,F,点F恰好在射线CE上,如果CE=根号2AE,求AB/BC的值.

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分析:这道题一方面的难度来自于图形很不直观,特别是第(2)小题的图形非常难以把握,也很难画得准确。解决问题的过程中,主要运用到“三角形的重心是三角形中线靠近底边的三等分点”这个知识点。如果不会用这个定理,解起来难度翻倍。另一个比较容易被忽略的是等腰三角形底边“三线合一”的定理运用。而三角形中位线定理在这道题中运用得也很多,不过这个定理考生一般都掌握得比较好。第(2)小题从CE和AE的比推出AB与BC的比,几乎运用了一次“乾坤大挪移”。

证明:(1)i. 连结AC交BD于点O,

在平行四边形ABCD中,OA=OC,若AE=CE,则BD⊥AC,∴平行四边形ABCD是菱形.

ii. E是△ABC的重心,∴BE=2OE,又OB=BD/2,∴OE=BD/6,

在Rt△AOB中, OA^2=AB^2-OB^2=25-BD^2/4,

在Rt△AOE中, OA^2=AE^2-OE^2=9-OB^2/36,

∴25-BD^2/4=9-BD^2/36,∴BD=6倍根号2.

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(2)由EF⊥AB及E是△ABC的重心, 知BC=AC,AE=BE=BF=FA,OE=BE/2,

∴四边形AEBF是菱形,又EF=CE=根号2 AE=根号2 BE, ∴四边形AEBF是正方形,

AB=EF=CE=根号2 AE,

在Rt△AOE中, OA=根号(AE^2+OE^2)=根号(AE^2+(BE/2)^2)=根号5AE/2,

∴BC=AC=2OA=根号2AE.AB/BC=根号2 /根号5=根号10 /5.

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