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上海2022年中考数学的这道压轴题，很考学生的数学水平，是一道不可多得的好题，出得挺有水平的。今后随着“双减”政策的普及，恐怕很难再在中考数学卷中看到这样的好题了。
如图，在平行四边形ABCD中，P是线段BC的中点，联结BD交AP于点E，联结CE
(1)如果AE=CE，
i. 求证平行四边形ABCD是菱形；
ii. 若AB=5, CE=3，求线段BD的长；
(2)分别以AE,BE为半径，点A,B为圆心作圆，两圆交于点E,F,点F恰好在射线CE上，如果CE=根号2AE，求AB/BC的值.
分析：这道题一方面的难度来自于图形很不直观，特别是第(2)小题的图形非常难以把握，也很难画得准确。解决问题的过程中，主要运用到“三角形的重心是三角形中线靠近底边的三等分点”这个知识点。如果不会用这个定理，解起来难度翻倍。另一个比较容易被忽略的是等腰三角形底边“三线合一”的定理运用。而三角形中位线定理在这道题中运用得也很多，不过这个定理考生一般都掌握得比较好。第(2)小题从CE和AE的比推出AB与BC的比，几乎运用了一次“乾坤大挪移”。
证明：(1)i. 连结AC交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，OA=OC,若AE=CE，则BD⊥AC,∴平行四边形ABCD是菱形.
ii. E是△ABC的重心，∴BE=2OE，又OB=BD/2，∴OE=BD/6，
在Rt△AOB中, OA^2=AB^2-OB^2=25-BD^2/4，
在Rt△AOE中, OA^2=AE^2-OE^2=9-OB^2/36，
∴25-BD^2/4=9-BD^2/36，∴BD=6倍根号2.
(2)由EF⊥AB及E是△ABC的重心, 知BC=AC，AE=BE=BF=FA，OE=BE/2,
∴四边形AEBF是菱形，又EF=CE=根号2 AE=根号2 BE, ∴四边形AEBF是正方形，
AB=EF=CE=根号2 AE，
在Rt△AOE中, OA=根号(AE^2+OE^2)=根号(AE^2+(BE/2)^2)=根号5AE/2，
∴BC=AC=2OA=根号2AE.AB/BC=根号2 /根号5=根号10 /5.
你觉得这道题怎么样呢？ |
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