2021年全国高中数学联赛
竞赛2024年东南地区奥林匹克() 加入购题车下载本题证明：存在有理数集Q的无限子集A和B，同时满足以下三个条件：
(ⅰ) A∪B=Q,A∩B=∅；
(ⅱ) ∀x,y∈A⟹xy∈B,∀x,y∈B⟹xy∈B；
(ⅲ) ∀n∈Z,(n,n+1)∩A≠∅,(n,n+1)∩B≠∅.
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高考2024年新高考Ⅰ() 加入购题车下载本题
已知集合A={x│-5
A、{-1,0}
B、{2,3}
C、{-3,-1,0}
D、{-1,0,2}
{-1,0}
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竞赛2024年罗马尼亚() 加入购题车下载本题
Given a positive integer n, a set S is n-admissible if
①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},
②|S|=n-2,and
③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,
|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2
Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?
【译】给定正整数n，称集合S是n-可行,如果其满足以下条件：
①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集；
②|S|=n-2；
③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S，都有
|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2
判断以下命题是否为真：对所有n>3和所有的n-可行集合S，在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn，使得对集合S中任意元素{i,j,k}，三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.
竞赛2021年全国高中数学联赛() 加入购题车下载本题
求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1,-1}，满足
|∑a∈Af(a)∙a|≤1
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竞赛2021年全国高中数学联赛() 加入购题车下载本题
若集合A={1,2,m}，其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为________.
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由条件知C的元素为1,2,4,m,m²（允许有重复）.
而当m为实数时，1+2+4+m+m²>6,1+2+4+m²>6，
故只可能是C={1,2,4,m}，且1+2+4+m=6，
于是m=-1（经检验符合题意），
此时C的所有元素之积为1×2×4×(-1)=-8.
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