2021年全国高中数学联赛

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竞赛2024年东南地区奥林匹克() 加入购题车  下载本题

证明：存在有理数集Q的无限子集A和B，同时满足以下三个条件：

(ⅰ) A∪B=Q,A∩B=∅；

(ⅱ) ∀x,y∈A⟹xy∈B,∀x,y∈B⟹xy∈B；

(ⅲ) ∀n∈Z,(n,n+1)∩A≠∅,(n,n+1)∩B≠∅.

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高考2024年新高考Ⅰ() 加入购题车  下载本题

已知集合A={x│-5

A、{-1,0}

B、{2,3}

C、{-3,-1,0}

D、{-1,0,2}

{-1,0}

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竞赛2024年罗马尼亚() 加入购题车  下载本题

Given a positive integer n, a set S is n-admissible if

①each element of S is an unordered triple of integers in {1,2,⋯,n},

②|S|=n-2,and

③for each 1≤k≤n-2 and each choice of k distinct A1,A2,⋯,Ak∈S,

|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2

Is it true that, for all n>3 and for each n-admissible set S, there exist pairwise distinct points P1,P2,⋯,Pn in the plane such that the angles of the triangle Pi Pj Pk are all less than 61° for any triple {i,j,k} in S?

【译】给定正整数n，称集合S是n-可行,如果其满足以下条件：

①S的每个元素都是{1,2,⋯,n}的三元子集；

②|S|=n-2；

③对任意的1≤k≤n-2和任意k个互不相同的A1,A2,⋯,Ak∈S，都有

|A1∪A2∪⋯∪Ak |≥k+2

判断以下命题是否为真：对所有n>3和所有的n-可行集合S，在平面内总存在n个互不相同的点P1,P2,⋯,Pn，使得对集合S中任意元素{i,j,k}，三角形Pi Pj Pk的每个内角都小于61°.

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求具有下述性质的最小正数c：对任意整数n≥4以及集合A⊆{1,2,⋯,n}，若|A|>cn，则存在函数f:A→{1,-1}，满足

|∑a∈Af(a)∙a|≤1

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若集合A={1,2,m}，其中m为实数.令B={a²|a∈A},C=A∪B.若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为________.

-8

由条件知C的元素为1,2,4,m,m²（允许有重复）.

而当m为实数时，1+2+4+m+m²>6,1+2+4+m²>6，

故只可能是C={1,2,4,m}，且1+2+4+m=6，

于是m=-1（经检验符合题意），

此时C的所有元素之积为1×2×4×(-1)=-8.