迟麦冬 发表于 2024-9-6 17:15:59

求助一道不等式

已知实数a,b满足4a²+b²-2ab=36，求a²+b²的最大值

菅春妤 发表于 2024-9-6 19:01:05

4a²+b²-2ab=36 ⇒ a²+b²= -3a²+2ab+36
令 a²+b²=f(a)= -3a²+2ab+36 （以a为主元）
a=b/3时，一元二次函数f(a)取得最大值
将b=3a代入4a²+b²-2ab=36
解得，a²=36/7，b²=9x36/7
a²+b²的最大值为360/7

兰思琪 发表于 2024-9-6 19:21:14

设a=rcost，b=rsint(r>=0)则有
36=r^2(4c^2+s^2-2sc)
36/r^2=1+3(1+cos2t)/2-sin2t
72/r^2=5+3cos2t-2sin2t
72/r^2=5-√13sin(2t+m)
得30-6√13<=r^2<=30+6√13
即(a^2+b^2)max=30+6√13

兰思琪 发表于 2024-9-6 20:41:46

三角换元法还可以对已知式配方：由(a-b)^2+3a^2=36，可以设a-b=6cost，√3a=6sint，则a=2√3sint，b=2√3sint-6cost，再整理降幂利用辅助角公式即可求最值

兰思琪 发表于 2024-9-6 22:17:57

再来个齐次化的办法：设x
=b/a，则有(a^2+b^2)/(4a^2-b^2+2ab)=(1+x^2)/(4-x^2+2x)=f(x)，再求f(x)的值域即可

牵敏达 发表于 2024-9-7 00:00:15

似乎可用注意力惊人法

恭淑婉 发表于 2024-9-7 01:37:39

就嗯凑

频宏扬 发表于 2024-9-7 03:21:10

1.1《代数形←套ᵀ问ᵂ·建ᴶ】套ᵀ问ᵂ~建ᴶ形】滕ᵀ~思... https://tieba.baidu.com/p/9146621510》
□.2）还可如何进行：
2.1）已知及问题只含a²、b²、ab，
□.2）尝试由(wa-jb)²≥0出发。
3.1）展开第2.2，从里面分出一个已知等式的左边：
□.2）(w²-4)a²+2ab(wj+1)+(j²-1)b²+4a²+b²-2ab≥0.
□.0）即：(w²-4)a²+2ab(wj+1)+(j²-1)b²≥-36
4.1）尝试令wj+1=0.
□.2）w²-4=j²-1<0.

频宏扬 发表于 2024-9-7 04:41:55

1.1《代数形←套ᵀ问ᵂ·建ᴶ】套ᵀ问ᵂ~建ᴶ形】滕ᵀ~思...   https://tieba.baidu.com/p/9146621510》
□.2）还可如何进行：
2.1）套住~1楼·问题~来·建造形式，想要有：a²+b²≤■.
3）从已知出发，尝试建造：
4）a²+b²≤t·36=t(4a²+b²-2ab)（t>0).
5）取最左、最右整理：
(4t-1)a²+(t-1)b²-2tab≥0.
4.1）尝试令t>1.
□.2）且：√[(4t-1)(t-1)]=t.

孙弘量 发表于 2024-9-7 05:24:28

待定系数法，配方可得

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