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求助一道不等式

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发表于 2024-9-6 17:15:59 |显示全部楼层 | 阅读模式

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已知实数a,b满足4a²+b²-2ab=36,求a²+b²的最大值

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发表于 2024-9-6 19:01:05 |显示全部楼层
4a²+b²-2ab=36 ⇒ a²+b²= -3a²+2ab+36
令 a²+b²=f(a)= -3a²+2ab+36 (以a为主元)
a=b/3时,一元二次函数f(a)取得最大值
将b=3a代入4a²+b²-2ab=36
解得,a²=36/7,b²=9x36/7
a²+b²的最大值为360/7

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发表于 2024-9-6 19:21:14 |显示全部楼层
设a=rcost,b=rsint(r>=0)则有
36=r^2(4c^2+s^2-2sc)
36/r^2=1+3(1+cos2t)/2-sin2t
72/r^2=5+3cos2t-2sin2t
72/r^2=5-√13sin(2t+m)
得30-6√13<=r^2<=30+6√13
即(a^2+b^2)max=30+6√13

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发表于 2024-9-6 20:41:46 |显示全部楼层
三角换元法还可以对已知式配方:由(a-b)^2+3a^2=36,可以设a-b=6cost,√3a=6sint,则a=2√3sint,b=2√3sint-6cost,再整理降幂利用辅助角公式即可求最值

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发表于 2024-9-6 22:17:57 |显示全部楼层
再来个齐次化的办法:设x
=b/a,则有(a^2+b^2)/(4a^2-b^2+2ab)=(1+x^2)/(4-x^2+2x)=f(x),再求f(x)的值域即可

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发表于 2024-9-7 00:00:15 |显示全部楼层
似乎可用注意力惊人法

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发表于 2024-9-7 01:37:39 |显示全部楼层
就嗯凑

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发表于 2024-9-7 03:21:10 |显示全部楼层
1.1《代数形←套ᵀ问ᵂ·建ᴶ】套ᵀ问ᵂ~建ᴶ形】滕ᵀ~思... https://tieba.baidu.com/p/9146621510》
□.2)还可如何进行:
2.1)已知及问题只含a²、b²、ab,
□.2)尝试由(wa-jb)²≥0出发。
3.1)展开第2.2,从里面分出一个已知等式的左边:
□.2)(w²-4)a²+2ab(wj+1)+(j²-1)b²+4a²+b²-2ab≥0.
□.0)即:(w²-4)a²+2ab(wj+1)+(j²-1)b²≥-36
4.1)尝试令wj+1=0.
□.2)w²-4=j²-1<0.

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发表于 2024-9-7 04:41:55 |显示全部楼层
1.1《代数形←套ᵀ问ᵂ·建ᴶ】套ᵀ问ᵂ~建ᴶ形】滕ᵀ~思...   https://tieba.baidu.com/p/9146621510》
□.2)还可如何进行:
2.1)套住~1楼·问题~来·建造形式,想要有:a²+b²≤■.
3)从已知出发,尝试建造:
4)a²+b²≤t·36=t(4a²+b²-2ab)(t>0).
5)取最左、最右整理:
(4t-1)a²+(t-1)b²-2tab≥0.
4.1)尝试令t>1.
□.2)且:√[(4t-1)(t-1)]=t.

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发表于 2024-9-7 05:24:28 |显示全部楼层
待定系数法,配方可得

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