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初中数学知识点总结
一、基本知识
实数:①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反
数,倒数,绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴的一个点来表示。
1、有理数的分类:⑴①整数一正整数/0/负整数
②分数一正分数/负分数
⑵①正有理数一正整数/正分数
②负有理数一负正数/负分数
③零
注意:数0既不是正数,也不是负数。
2、无理数:无限不循环小数叫无理数
3、数轴:
⑴数轴的三要素:原点正方向单位长度三(要素缺一不可)
⑵数轴是一条直线,可以向两端无限延伸。
⑶一般取向右或(向)为正方向。
注意:①有理数都可以用数轴的点表示,但数轴的点不都是有理数。
②数轴两个点表示的数,右边的总比左边的大。
③正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
4、相数:只有符号不同的两个数例(如2和-2);0的相反数仍是0.
注意:①相反数是它本身的数是0,
②如果a,b互为相反数,那么a+b=0或a=-b或b=-a;反之,若a+b=0,
则a,b互为相反数。
③在数轴,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与
原点距离相等。
5、绝对值:一般地,数轴表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记
作Ia|.
总结为:0W|a|=aa0;
=0aa=0;
=-aa0.
注意:①绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
②任何数都有绝对值,且只有一个,零是绝对值最小的数。
③正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、
0的绝对值是0。
④两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
6、有理数加减法法则:①同号相加减一边倒,异号相加减“大”绝对值减“小”
绝对值;
②符号跟着“大”绝对值的跑,绝对值相等“零”正好。
③减去一个数,等于加这个数的相反数。
有理数乘除法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘除。
②任何数同0相乘,都得0.
③任何数同1相乘,都得它本身.
④除以一个数等于乘以一个数的倒数
⑤0不能作除数。
有理数混合运算顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号
里的。
7、倒数:乘积是1的两个数互为倒数。
总结:①互为倒数的两个数符号相同,互为相反数的两数符号相反零(除外)。
②互为相反数的两个数和为0.互为倒数的两个数积为1.
③零的相反数是零,零没有倒数。
④倒数等于本身的数是士1.
⑤aXb可以写成a•b或ab.
⑥除数不能为0
⑦0除以任何一个不为0的数,都得0.
8、乘方:n个相同的因数a相乘,记作a,读作a的n次方。
这种积的运算叫做乘方,乘方的结果叫塞,a叫底数,n叫指数。
乘方法则:负数的奇次嘉是负数,负数的偶次越是正数;
正数的任何次褰都是正数;
0的任何正整数次越都是0o
注意:①零的零次易无意义;
②互为相反数的两个数的奇次越,仍互为相反数;
③互为相反数的两个数的偶次募,相等。
9、平方根:①如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数X就叫做
a的算数平方根。即(Ja=xN0)
②如果一个数x的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根
(即a的平方根或二次根,记作x=±Va)
③求一个数a的平方根运算a(20),叫做开平方。
其中a叫做被开方数a(NO)。
注意:①一个非负数(a20)有2个平方根,即x=±,a。
只有正数和零才有平方根,负数没有平方根。
②平方根等于本身的数是0。(x=±Va)
③算数平方根等于本身的数是0和1。(x=Va^0)
④被开方数要大于等于0(a20)。
10、立方根:①如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
②求一个数a的立方根的运算叫开立方,其中a叫做被开方数。
即Ma=x(a为任意实数)
注意:①正数的立方根是正数、
②0的立方根是0、
③负数的立方根是负数。
④立方根等于本身的数是0,和±1。
二、整式的加减
整式:单项式与多项式统称整式。
㈠整式加减的运算法则:如果遇到括号先去括号,再合并同类项。
乘法交换律:ab=ba
乘法结合律:(ab)c=a(bc)
乘法分配律:a(b±c)=ab±ac
除法结合律:(a/b)c=ac/b
㈡整式的乘法运算法则:
①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的哥分别相乘,其余字母连
同他的指数不变,作为积的因式。
②单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把
所得的积相加。用字母表示为:a(b+c)=ab+ac
③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,
再把所得的积相加。
用字母表示为:(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
22
⑴乘法公式:平方差公式:a-b=(a+b)(a-b)
完全平方公式:(a+by=a?+2ab+b2
222
(a-b)=a-2ab+b
⑵同底数赛的乘法:(n,m都是正整数)
即同底数募相乘,底数不变,指数相加。
n+mffl
a=a-ann(,m都是正整数)
111
3()赛的乘方:a().an(,m都是正整数)即募的乘方,底数不变,指数相乘。
nn
⑷积的乘方:a(b)=a.b%为正整数)
㈢整式的除法运算法则:
①单项式相除,把系数与同底数募分别相除后,作为商的因式;对于只在被除
式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商
相加。用字母表示为:a(m+bm)4-n=am4-n+bm4-n
mnnm
⑴同底数卷的除法:a-^a=aa(WO,n,m都是正整数,并且mn)
n-mffl
a=a+ann(,m都是正整数)
即同底数募相除,底数不变,指数相。
规定:a°=la(WO),即任何不等于0的数的0次幕都等于1.
2()分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变化叫做把这个多
项式分解因式。
方法:①提公因式法(首先必做的)
②平方差公式两(项式时)
③完全平方法(三项式时)
④十字相乘法(三项式时)
1、单项式:由数或字母的积组成的代数式。
单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和。
注意:①单独一个数或者一个字母也是单项式。
②单项式的系数(即单项式中的数字因数)包括前面的符号。
2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
①每个单项式叫做多项式的项。
②不含字母的项叫做常数项。
③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的最高次数。
3、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
(与系数及字母的顺序无关)
注意:几个常数也同类项。
例如:2ab与-(ab),2和3,4和5都是同类项。
同类项的判断标准:①所含字母是否相同;
②相同字母的指数是否分别相同。
4、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项就叫做合并同类项。
注意:在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
三、分式:了
整式A除以整式B,如果除式B中含有字母B(HO),那么这个炉就是分式。
①A叫做分子,B叫做分母。
②对于任何一个分式,分母不为0。
④分式万-=0的条件:分子等于0,分母不等于0(即A=0,BW0)
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变。
A_A•CAA-C
即~B~~BC,~B~-B十CC(W0)。
2.通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式
的值,把异分母的分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
用式子表示为:4和G通分,4==1分(母都为3。)
BDBBDDBD
3.约分:利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分
式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。
4.CA
用式子表示为:-;=£(。为公因式)
约分的步骤:
①把分式的分子与分母分解因式化(为a・b或()•()积的形式);
②约去分子与分母的公因式,如3%=区。
b-mb
③分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的,分式的分子和分母必须都是
乘积的形式,才能进行约分,约分后的结果可能是整式。
4.分式的运算:
①乘法:分式乘分式,用分子相乘的积作为积的分子,用分母相乘的积作为积的
②除法:分式除以分式,把除式中的分子,分母颠倒位置后(即进行倒数),与
被除式相乘,即色十£=巴・4=巴
bdbcb•c
③加法:a:同分母分式相加,分母不变,把分子相加。即:-±-=—
CCC
b:异分母的分式先通分,化为同分母的分式,再加。
a_cad,bead±bc
:—±—=—±-=
bdbdbdbd
④乘方法贝上7(n为正整数)即分式的乘方要把分子,分
母分别乘方。
5.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。(分母不能为0)
解分式方程的思路:①将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”。
即方程两边同乘最简公分母。
②验根:把根带入分母中,若分母不为0.即这个根
是分式方程的解;若是分母为0,这个根不是分式
方程的解,无意义。
总结:整数指数届
mnn+m
①a•a=an(,m都是正整数)
②(a)n二amnn(,m都是正整数)
③a(b)n二a:4卜为正整数)
④aW+aJaa(WO,n,m都是正整数,并且mn)
⑤(3—)=匚n(为正整数)
b)b
⑥a°=1a(WO)
-nn
®a=aa(W0),即aa(WO)是a的倒数。
四、方程与方程组
㈠一元一次方程:
在一个方程中,只含有一个未知数一(元),并且未知数的指数是1一(次),
这样的方程叫一元一次方程。
1.一元一次方程满足的条件:
①只含一个未知数;
②未知数的最高次数是1,而且只能是1;
③未知数的系数不能为0.
2.等式的性质:
①等式两边加或()同一个数或(整式),结果仍相等,
即如果a=b,那么a±c=b±c
②等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,
即如果a=b,那么ac=bc;如果a=bc(WO),那么?=白(同除的那个数一定
CC
不能为0)
3.解一元一次方程的步骤:
去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数系数化为1。
注意:移项一把等式一边的某项变号后移到另一边
㈡二元一次方程:
含有两个未知数x(和y),并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做
二元一次方程。
一般形式为:ax+by+c=Oa(WO,bWO)
1.二元一次方程组:
两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
⑴二元一次方程组解的情况:
rAx+By+C=O
Lx+Ey+F=O
①当4Ho时,方程组有唯一的解;
DE
②当4=0=C时,方程组有无数个解;
DEF
③当4=0时,方程组有无解;
DEF
⑵解二元一次方程组的方法:
①代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的
式子表示出来,再代入另一个方程。
②加减消元法:两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反数或相等,把这
两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一
元一次方程。
㈢不等式与不等式组
1.不等式:用符号“〉,,〈W,巳”号连接的式子叫不等式。
⑴不等式的解:用数轴表示的。
类(似于解一元一次方程)去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数系数化
为1。
注意:移项一把等式一边的某项变号后移到另一边
2()一元一次不等式:类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数
是1的不等式。
⑶不等式的性质:
①不等式两边都加上(或减去)同一个数(式),不等号的方向不变。
即如果ab,那么a±cb±c
②不等式两边乘或(除以)一个正数,不等号方向不变。
即如果ab,c0那么acbc或(@〉2)
CC
③不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变。
即如果ab,c0那么acbc或(—(—)
CC
注意:同乘或同除的数一定不能为0.
如果不等式乘以0,那么不等号改为等号
2.不等式组:两个一元一次不等式组合起来,叫做一元一次不等式组
⑴一元一次不等式组的解集:用数轴表示的。取(数轴公共部分解集。)
⑵一元一次不等式组的解步骤:
先求出其中各个不等式的解集,再求出这些解集得公共部分。
⑶一元一次不等式组的解集情况如下:
㈣一元二次方程:(二次函数的一个特殊情况y=0)
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的项的最高次
数为2二(次)的方程。
1.一元二次方程一般表达式:ax+bx+c=0a(*0)
其中①ax’是二次项,a是二次项系数;
②bx是一次项,b是一次项系数;
③c是常数项。
2.一元二次方程的解法:降次公式法因式分解法
⑴降次:直接开平方法配方法
①直接开平方法:
形如x2=p或m(x+n)2=pp(,o,mWO,n,p是常数。)
求解:x2=p-*x=±Vp
m(x+n)=p-mx+n=±VpBPx=±(Vp-n)/m
②配方法:完全平方公式:a(+b)2=a?+2ab+b2
222
(a-b)=a-2ab+b
通过配成完全平方形式,再用直接开平方法去求出解
⑵公式法:由配方法得来的
一般形式:ax+bx+c=O(a*0)
注意:先判断△=b?-4ac的情况
①△;b?-4acN0,方程有解。
A:△:b2-4ac0,方程有两个不相等的根:
22
-b+-\/b-4«c-b-Vb-4ac
Xi=X=
2a2a
B:△:b2-4ac=0,方程有两个相等的根:
-b
==
XlX2
2a
②△:b?-4ac0,方程无解。
⑶因式分解法:(化为积的形式,方程右边化为0)
方法:提公因式法平方差公式完全配方法十字相乘法
形如:(x+m)•(x+n)=0-Xi=-m,x=-n
3.韦达定理:(根与系数的关系)
Xi+x=
X1•X2二一
五、函数
变量:因变量(y)自变量(x)。
在用图象表示变量之间的关系,通常用水平方向的数轴上的点自变量,用
竖直方向的数轴上的点表示因变量。
函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x
的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,
y是x的函数.
函数中自变量取值范围的求法:
(1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。
2()用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。
C3)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再
求其公共范围,即为自变量的取值范围。
C4)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。
㈠一次函数:
一般表达式:y=kx+bk(,b为常数,且kWO)的函数叫做一次函数.
①y=kx+bk(,b为常数,且kWO,bWO),则称丫是X的一次函数普(通
一次函数)。
②当b=0时,y=kx+b即为y=kxk(WO),叫正比例函数,是一次函
数的特例。
.自变量因变量的取值范围:
①一次函数自变量x的取值范围为:任意实数。
②一次函数因变量y的取值范围为:任意实数。
2.一次函数的图象:一条直线
3.正比例函数的图象与性质:
①图象:
正比例函数y=kxk(是常数,kWO))的图象是经过原点0(,0)的一条
直线,我们称它为直线丫=«O
②性质:
a:当k0味直线y=kx经过第一一,三象限,从左向右上升,
即随着x的增大y也增大;
b:当k0此直线y=kx经过第二,四象限,从左向右下降,
即随着x的增大y反而减小。
C:Ik|越大,直线越靠近y轴。
4.普通一次函数的图象与性质:同正比例函数(k)一样
k,b为常数,且
y=kx+b(kWO,bNO)其中,b是与y轴的交点。
a:当b0时,直线与v轴的正半轴相交;
b:当b0时直线与y轴的负半轴相交;
5.一次函数:关于k的情况
⑴直线倾斜程度的量一直线的斜率为k
定义:直线y=kx+b(kWO)中的系数k叫做这条直线的斜率
设6(%1,%),鸟(X2,,2)是直线/上的两个不同点,且XiW%2
%-kx+b=kx?+b
为一%=kx-kx=k(x-xj
2l2
直线的斜率计算公式:
注意:斜率k与pi、P2两点的顺序无关
如果kik,则两直线平行。
⑵=
⑶如果ki=;或ki-k=l,则两直线垂直。
K2
一次函数的图像:
定义图象性质
y二kx+b(kWO)左上升右直线所过象限增减性
-A
b=0/第一、三象限y随x增大
k0/而增大
(0,b),y随x增大
b0第一、二、三象限而增大
b0y随x增大
第一、三、四象限而增大
/(0,b)
定义图象性质
y=kx+b(kWO)左下降右直线所过象限增减性
-A
第二、四象限
b=0y随x增大
而减小
K0
^(0,b)y随x增大
b0第一、二、三象限而减小
ik
b0y随x增大
►第二、三、四象限而减小
㈡反比例函数:k
.形如](A-为常数,GNO)的函数叫做
反比例函数.”
7.丫x#=o
2.,=+A(-^0),自变量、的取值范围是,
函数y的取值范围是丫力0.
3.用待定系数法求反比例函数关系式,只要把一组
%、’的对应值代入=(左#0),求出,即
确定了关系式.
4.反比例函数(A-为常数,LWO)的图象是
用曲..当A0时,两支曲线分别位于第一,三象
限内;当」0时,两支曲线分别位于第二,四象限内.
5.反比例函数y=--的图像性质:当k0时,y
的值随x的增大而减小;当k0时,y的值随x的增大
K0K0
6.注意:反比例函数y=2(kWO)中比例系数k的几何意
义,即过双曲线尸左(k£0)上任意一点引x轴、y轴垂线,
所得矩形面积为|甲t,
女比例属数和正比例房微图像的比较
函数正比例函数反比例函数
解析式y=kx(k。0)k
y=7(k是常数,kwo)
图象形状直线双曲线
小
K0
一.三象限
一,三象限图像关于y=-x对称
y随x的增大而增大
y随x的:噌大而减小
△
K0
rr
二四象F艮
二四象限图像关于y=x对称
y随x世增[大而减小
y随x的:噌大而增大
㈢二次函数:
二空间与图形
A、图形的认识
1、点,线,面
点,线,面:①图形是由点,线,面构成的。②面与面相交得线,线与线相交得
点。③点动成线,线动成面,面动成体。
展开与折叠:①在棱柱中,任何相邻的两个面的交线叫做棱,侧棱是相邻两个侧
面的交线,棱柱的所有侧棱长相等,棱柱的上下底面的形状相同,侧面的形状都
是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体:用一个平面去截一个图形,截出的面叫做截面。
视图:主视图,左视图,俯视图。
多边形:他们是由一些在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧、扇形:①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②
圆可以分割成若干个扇形。
2、角
线:①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有
一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点
有且只有一条直线。
比较长短:①两点之间的所有连线中,线段最短。②两点之间 |
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