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初中数学知识点总结

一、基本知识

实数：①实数分有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反

数，倒数，绝对值的意义完全一样。

③每一个实数都可以在数轴的一个点来表示。

1、有理数的分类：⑴①整数一正整数/0/负整数

②分数一正分数/负分数

⑵①正有理数一正整数/正分数

②负有理数一负正数/负分数

③零

注意：数0既不是正数，也不是负数。

2、无理数：无限不循环小数叫无理数

3、数轴：

⑴数轴的三要素：原点正方向单位长度三（要素缺一不可）

⑵数轴是一条直线，可以向两端无限延伸。

⑶一般取向右或（向）为正方向。

注意：①有理数都可以用数轴的点表示，但数轴的点不都是有理数。

②数轴两个点表示的数，右边的总比左边的大。

③正数大于0,负数小于0,正数大于负数。

4、相数：只有符号不同的两个数例（如2和-2）；0的相反数仍是0.

注意：①相反数是它本身的数是0,

②如果a,b互为相反数,那么a+b=0或a=-b或b=-a;反之,若a+b=0,

则a,b互为相反数。

③在数轴，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与

原点距离相等。

5、绝对值：一般地，数轴表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记

作Ia|.

总结为：0W|a|=aa0;

=0aa=0;

=-aa0.

注意：①绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

②任何数都有绝对值，且只有一个，零是绝对值最小的数。

③正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、

0的绝对值是0。

④两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

6、有理数加减法法则：①同号相加减一边倒，异号相加减“大”绝对值减“小”

绝对值；

②符号跟着“大”绝对值的跑，绝对值相等“零”正好。

③减去一个数，等于加这个数的相反数。

有理数乘除法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除。

②任何数同0相乘，都得0.

③任何数同1相乘，都得它本身.

④除以一个数等于乘以一个数的倒数

⑤0不能作除数。

有理数混合运算顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号

里的。

7、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

总结：①互为倒数的两个数符号相同，互为相反数的两数符号相反零（除外）。

②互为相反数的两个数和为0.互为倒数的两个数积为1.

③零的相反数是零，零没有倒数。

④倒数等于本身的数是士1.

⑤aXb可以写成a•b或ab.

⑥除数不能为0

⑦0除以任何一个不为0的数，都得0.

8、乘方：n个相同的因数a相乘，记作a,读作a的n次方。

这种积的运算叫做乘方，乘方的结果叫塞，a叫底数，n叫指数。

乘方法则：负数的奇次嘉是负数，负数的偶次越是正数；

正数的任何次褰都是正数；

0的任何正整数次越都是0o

注意：①零的零次易无意义；

②互为相反数的两个数的奇次越，仍互为相反数；

③互为相反数的两个数的偶次募，相等。

9、平方根：①如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数X就叫做

a的算数平方根。即（Ja=xN0）

②如果一个数x的平方等于a,那么这个数X就叫做a的平方根

（即a的平方根或二次根，记作x=±Va）

③求一个数a的平方根运算a（20）,叫做开平方。

其中a叫做被开方数a（NO）。

注意：①一个非负数(a20)有2个平方根，即x=±，a。

只有正数和零才有平方根,负数没有平方根。

②平方根等于本身的数是0。(x=±Va)

③算数平方根等于本身的数是0和1。(x=Va^0)

④被开方数要大于等于0(a20)。

10、立方根：①如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。

②求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

即Ma=x(a为任意实数)

注意：①正数的立方根是正数、

②0的立方根是0、

③负数的立方根是负数。

④立方根等于本身的数是0,和±1。

二、整式的加减

整式：单项式与多项式统称整式。

㈠整式加减的运算法则：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b±c)=ab±ac

除法结合律：(a/b)c=ac/b

㈡整式的乘法运算法则：

①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的哥分别相乘，其余字母连

同他的指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把

所得的积相加。用字母表示为：a(b+c)=ab+ac

③多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,

再把所得的积相加。

用字母表示为：(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn

22

⑴乘法公式：平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+by=a?+2ab+b2

222

(a-b)=a-2ab+b

⑵同底数赛的乘法：(n,m都是正整数)

即同底数募相乘，底数不变，指数相加。

n+mffl

a=a-ann（,m都是正整数）

111

3（）赛的乘方：a（）.an（,m都是正整数）即募的乘方，底数不变，指数相乘。

nn

⑷积的乘方：a（b）=a.b%为正整数）

㈢整式的除法运算法则：

①单项式相除，把系数与同底数募分别相除后，作为商的因式；对于只在被除

式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商

相加。用字母表示为：a（m+bm）4-n=am4-n+bm4-n

mnnm

⑴同底数卷的除法：a-^a=aa（WO,n,m都是正整数，并且mn）

n-mffl

a=a+ann（,m都是正整数）

即同底数募相除，底数不变，指数相。

规定：a°=la（WO）,即任何不等于0的数的0次幕都等于1.

2（）分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多

项式分解因式。

方法：①提公因式法（首先必做的）

②平方差公式两（项式时）

③完全平方法（三项式时）

④十字相乘法（三项式时）

1、单项式：由数或字母的积组成的代数式。

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和。

注意：①单独一个数或者一个字母也是单项式。

②单项式的系数（即单项式中的数字因数）包括前面的符号。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

①每个单项式叫做多项式的项。

②不含字母的项叫做常数项。

③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的最高次数。

3、同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（与系数及字母的顺序无关）

注意：几个常数也同类项。

例如：2ab与-（ab）,2和3,4和5都是同类项。

同类项的判断标准：①所含字母是否相同;

②相同字母的指数是否分别相同。

4、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项就叫做合并同类项。

注意：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

三、分式：了

整式A除以整式B,如果除式B中含有字母B（HO）,那么这个炉就是分式。

①A叫做分子，B叫做分母。

②对于任何一个分式，分母不为0。

④分式万-=0的条件：分子等于0,分母不等于0（即A=0,BW0）

1.分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A_A•CAA-C

即~B~~BC，~B~-B十CC（W0）。

2.通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式

的值，把异分母的分式化成同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。

用式子表示为：4和G通分,4==1分（母都为3。）

BDBBDDBD

3.约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式,不改变分

式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

4.CA

用式子表示为：-；=£（。为公因式）

约分的步骤：

①把分式的分子与分母分解因式化（为a・b或（）•（）积的形式）；

②约去分子与分母的公因式，如3%=区。

b-mb

③分式的约分是对分式的分子与分母整体进行的，分式的分子和分母必须都是

乘积的形式，才能进行约分，约分后的结果可能是整式。

4.分式的运算：

①乘法：分式乘分式，用分子相乘的积作为积的分子，用分母相乘的积作为积的

②除法：分式除以分式，把除式中的分子，分母颠倒位置后（即进行倒数），与

被除式相乘，即色十£=巴・4=巴

bdbcb•c

③加法：a:同分母分式相加，分母不变，把分子相加。即：-±-=—

CCC

b:异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加。

a_cad,bead±bc

：—±—=—±-=

bdbdbdbd

④乘方法贝上7（n为正整数）即分式的乘方要把分子，分

母分别乘方。

5.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。（分母不能为0）

解分式方程的思路：①将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”。

即方程两边同乘最简公分母。

②验根：把根带入分母中，若分母不为0.即这个根

是分式方程的解；若是分母为0,这个根不是分式

方程的解，无意义。

总结：整数指数届

mnn+m

①a•a=an（,m都是正整数）

②（a）n二amnn（,m都是正整数）

③a（b）n二a：4卜为正整数）

④aW+aJaa（WO,n,m都是正整数，并且mn）

⑤（3—）=匚n（为正整数）

b）b

⑥a°=1a（WO）

-nn

®a=aa（W0），即aa（WO）是a的倒数。

四、方程与方程组

㈠一元一次方程：

在一个方程中，只含有一个未知数一（元），并且未知数的指数是1一（次），

这样的方程叫一元一次方程。

1.一元一次方程满足的条件：

①只含一个未知数；

②未知数的最高次数是1,而且只能是1;

③未知数的系数不能为0.

2.等式的性质：

①等式两边加或（）同一个数或（整式），结果仍相等，

即如果a=b,那么a±c=b±c

②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

即如果a=b,那么ac=bc；如果a=bc（WO），那么?=白（同除的那个数一定

CC

不能为0）

3.解一元一次方程的步骤：

去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

注意：移项一把等式一边的某项变号后移到另一边

㈡二元一次方程：

含有两个未知数x（和y）,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做

二元一次方程。

一般形式为：ax+by+c=Oa（WO,bWO）

1.二元一次方程组：

两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

⑴二元一次方程组解的情况：

rAx+By+C=O

Lx+Ey+F=O

①当4Ho时，方程组有唯一的解；

DE

②当4=0=C时，方程组有无数个解；

DEF

③当4=0时，方程组有无解；

DEF

⑵解二元一次方程组的方法：

①代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的

式子表示出来，再代入另一个方程。

②加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反数或相等，把这

两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一

元一次方程。

㈢不等式与不等式组

1.不等式：用符号“〉，，〈W,巳”号连接的式子叫不等式。

⑴不等式的解：用数轴表示的。

类（似于解一元一次方程）去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化

为1。

注意：移项一把等式一边的某项变号后移到另一边

2（）一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数

是1的不等式。

⑶不等式的性质：

①不等式两边都加上（或减去）同一个数（式），不等号的方向不变。

即如果ab,那么a±cb±c

②不等式两边乘或（除以）一个正数，不等号方向不变。

即如果ab,c0那么acbc或（@〉2）

CC

③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

即如果ab,c0那么acbc或（—（—）

CC

注意：同乘或同除的数一定不能为0.

如果不等式乘以0,那么不等号改为等号

2.不等式组：两个一元一次不等式组合起来，叫做一元一次不等式组

⑴一元一次不等式组的解集：用数轴表示的。取（数轴公共部分解集。）

⑵一元一次不等式组的解步骤：

先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集得公共部分。

⑶一元一次不等式组的解集情况如下：

㈣一元二次方程：（二次函数的一个特殊情况y=0）

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的项的最高次

数为2二（次）的方程。

1.一元二次方程一般表达式：ax+bx+c=0a（*0）

其中①ax’是二次项，a是二次项系数；

②bx是一次项，b是一次项系数；

③c是常数项。

2.一元二次方程的解法：降次公式法因式分解法

⑴降次：直接开平方法配方法

①直接开平方法：

形如x2=p或m（x+n）2=pp（，o,mWO,n,p是常数。）

求解：x2=p-*x=±Vp

m（x+n）=p-mx+n=±VpBPx=±（Vp-n）/m

②配方法：完全平方公式：a（+b）2=a?+2ab+b2

222

(a-b)=a-2ab+b

通过配成完全平方形式，再用直接开平方法去求出解

⑵公式法：由配方法得来的

一般形式：ax+bx+c=O(a*0)

注意：先判断△=b?-4ac的情况

①△;b?-4acN0，方程有解。

A:△:b2-4ac0，方程有两个不相等的根:

22

-b+-\/b-4«c-b-Vb-4ac

Xi=X=

2a2a

B:△:b2-4ac=0，方程有两个相等的根：

-b

==

XlX2

2a

②△:b?-4ac0，方程无解。

⑶因式分解法：(化为积的形式，方程右边化为0)

方法：提公因式法平方差公式完全配方法十字相乘法

形如：(x+m)•(x+n)=0-Xi=-m,x=-n

3.韦达定理：(根与系数的关系)

Xi+x=

X1•X2二一

五、函数

变量：因变量(y)自变量(x)。

在用图象表示变量之间的关系，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用

竖直方向的数轴上的点表示因变量。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x

的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，

y是x的函数.

函数中自变量取值范围的求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

2（）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

C3）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再

求其公共范围，即为自变量的取值范围。

C4）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

㈠一次函数：

一般表达式：y=kx+bk（,b为常数，且kWO）的函数叫做一次函数.

①y=kx+bk（,b为常数，且kWO,bWO）,则称丫是X的一次函数普（通

一次函数）。

②当b=0时,y=kx+b即为y=kxk（WO）,叫正比例函数，是一次函

数的特例。

.自变量因变量的取值范围：

①一次函数自变量x的取值范围为：任意实数。

②一次函数因变量y的取值范围为：任意实数。

2.一次函数的图象：一条直线

3.正比例函数的图象与性质：

①图象：

正比例函数y=kxk（是常数，kWO））的图象是经过原点0（,0）的一条

直线，我们称它为直线丫=«O

②性质：

a：当k0味直线y=kx经过第一一，三象限，从左向右上升，

即随着x的增大y也增大；

b：当k0此直线y=kx经过第二，四象限，从左向右下降，

即随着x的增大y反而减小。

C：Ik|越大，直线越靠近y轴。

4.普通一次函数的图象与性质：同正比例函数（k）一样

k,b为常数，且

y=kx+b（kWO,bNO）其中，b是与y轴的交点。

a：当b0时,直线与v轴的正半轴相交；

b：当b0时直线与y轴的负半轴相交；

5.一次函数：关于k的情况

⑴直线倾斜程度的量一直线的斜率为k

定义：直线y=kx+b（kWO）中的系数k叫做这条直线的斜率

设6（%1，%），鸟（X2，,2）是直线/上的两个不同点，且XiW%2

%-kx+b=kx?+b

为一%=kx-kx=k（x-xj

2l2

直线的斜率计算公式：

注意：斜率k与pi、P2两点的顺序无关

如果kik,则两直线平行。

⑵=

⑶如果ki=；或ki-k=l,则两直线垂直。

K2

一次函数的图像：

定义图象性质

y二kx+b(kWO)左上升右直线所过象限增减性

-A

b=0/第一、三象限y随x增大

k0/而增大

(0,b)，y随x增大

b0第一、二、三象限而增大

b0y随x增大

第一、三、四象限而增大

/(0,b)

定义图象性质

y=kx+b(kWO)左下降右直线所过象限增减性

-A

第二、四象限

b=0y随x增大

而减小

K0

^(0,b)y随x增大

b0第一、二、三象限而减小

ik

b0y随x增大

►第二、三、四象限而减小

㈡反比例函数：k

.形如］（A-为常数，GNO）的函数叫做

反比例函数.”

7.丫x#=o

2.,=+A（-^0）,自变量、的取值范围是，

函数y的取值范围是丫力0.

3.用待定系数法求反比例函数关系式，只要把一组

%、’的对应值代入=（左#0）,求出，即

确定了关系式.

4.反比例函数（A-为常数，LWO）的图象是

用曲..当A0时,两支曲线分别位于第一，三象

限内；当」0时,两支曲线分别位于第二，四象限内.

5.反比例函数y=--的图像性质：当k0时，y

的值随x的增大而减小；当k0时，y的值随x的增大

K0K0

6.注意:反比例函数y=2(kWO)中比例系数k的几何意

义，即过双曲线尸左(k£0)上任意一点引x轴、y轴垂线,

所得矩形面积为|甲t,

女比例属数和正比例房微图像的比较

函数正比例函数反比例函数

解析式y=kx（k。0）k

y=7（k是常数,kwo）

图象形状直线双曲线

小

K0

一.三象限

一,三象限图像关于y=-x对称

y随x的增大而增大

y随x的:噌大而减小

△

K0

rr

二四象F艮

二四象限图像关于y=x对称

y随x世增［大而减小

y随x的:噌大而增大

㈢二次函数:

二空间与图形

A、图形的认识

1、点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得

点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧

面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都

是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②

圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有

一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点

有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间