一起来看！2021年北京高考数学试卷权威解析

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2021年北京高考数学科目的考试已经结束，北京教育考试院和北京教科院基教研中心的专家们对今年高考数学试卷进行了权威解析，一起来看↓↓↓

数学试卷整体分析

稳中求进，推动新高考改革致远前行

2021年高考数学北京卷坚持贯彻落实立德树人根本任务，实现“教”“学”“考”一体化的目标，形成了“一个中心，两个维度，六大素养，四条路径”的评价体系。即以立德树人为中心，以知识与思想、文化与应用为内容，以数学学科六大素养为核心，以突出数学本质、精选试题素材、创新设问方式、凸显问题解决能力为四条实施路径。

一个中心：立德树人

北京卷命题紧扣时代发展，选择重大现实事件入题，发挥学科特点，以立德树人为命题的宗旨，特别关注了德育、美育和劳动教育。

2021年是中国共产党百年华诞，第6题以党旗为背景，考查等差数列的基础知识。同时，党旗宽与长的比值2:3是最接近黄金比的、最简的相邻整数之比，体现数学与艺术的完美结合，引导学生去发现美。结合党旗知识，引导学生学史明理、学史增信，坚定理想信念，担当时代责任，厚植爱国主义情怀。

第8题以学生综合实践活动为背景，通过自制雨量器，收集雨水，测量降水量，将劳动教育与数学学科内容有机融合。从而引导学生热爱劳动，崇尚劳动，助力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。

两个维度：

知识与思想、文化与应用

一、突出对数学主干知识和思想方法的考查

北京卷突出对主干知识的考查。如对函数与导数、三角函数、平面解析几何、立体几何、统计与概率、数列、其他（不等式、集合、复数、二项式定理、充要条件、向量）这些主干知识进行重点考查，充分体现了对数学知识考查的基础性、全面性和综合性。

北京卷从数学学科整体意义和思想价值的高度立意，有效检测学生对数学思想方法的掌握程度。如第15题考查数形结合、运动与变化思想，第17题第（Ⅱ）问和第20题第（Ⅱ）问考查了函数与方程的思想，第9题体现的是化归与转化思想，第21题考查了归纳与综合、特殊与一般的思想，第18题考查了或然与必然的思想。

二、关注对数学文化与数学应用的考查

北京卷突出对数学文化和应用的考查，试题关注社会，关注学生发展，引导学生运用所学数学知识解决简单实际问题。如第8题以测降雨量为题材，体现数学的应用价值，以及数学与地理学科的关系。同时该题材也与我国《数书九章》的“天池盆测雨”的背景有关，通过“以史育人”达到“以文化人”的目的。

第18题以新冠病毒的“10合1”与“5合1”核酸检测技术为背景，让学生体会数学知识在大规模排查新冠病毒感染者的实际问题中的应用，使学生体会概率统计知识的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，养成在日常生活中应用数学知识的习惯。

六大素养：

数学学科核心素养

北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大素养的综合考查。

针对数学抽象素养，北京卷设计了至少5道试题。如第10题，考查数列项数的最大值问题，题目中只给定了数列的前n项和以及数列的递增性，需要学生综合分析所给条件，要使得项数最大，首项必须尽可能小，递增的幅度也需尽可能小，进而逐步抽象出等差数列模型。

针对逻辑推理素养，北京卷设计了至少3道试题。如第3题，以函数单调性、函数最值以及充要条件为载体，考查学生对函数性质的认识以及逻辑推理的能力。又如第21题第（Ⅰ）问，主要考查学生面对新情境的学习能力；第（Ⅱ）问需要学生特殊化三个性质；第（Ⅲ）问需要学生会用形式化的语言去推证一般的结论。

针对直观想象素养，北京卷设计了至少5道试题。如第13题，考查的是向量的运算。基于向量具有几何和代数双重特征，本题既可以用坐标计算，也可以借助几何直观解决。

针对数学运算素养，北京卷设计了至少9道试题。如第12题，以抛物线为载体，考查抛物线的定义、焦点等知识。本题既可以通过设点的坐标、根据两点间距离公式求解，也可以根据抛物线的定义直接求解。

针对数据分析素养，北京卷设计了第18题。本题以“10合1”为切入点设计了第（Ⅰ）问。利用“10合1”的检测方式，如果新冠病毒感染者在同一组，只需检测20次；如果新冠病毒感染者不在同一组，只需检测30次。而根据传统的检测方法，需要检测100次。因此，“10合1”的检测方式效率大幅提高。

针对数学建模素养，北京卷设计了至少3道试题。如第8题的降雨量测量的体积模型。第21题第（Ⅲ）问中归纳、建构的“自变量为正整数的取整函数”的数列模型。

总之，北京卷通过设计现实性、探究性和综合性问题，体现对数学素养的重点考查。

四条路径：课堂、素材、呈现方式、问题解决

一、试题在内容上突出数学本质，回归课堂教学

北京卷试题内容紧扣课标和教材，体现数学的本质，不出偏难怪题。选择题、填空题主要考查教材和课标中的基础知识和方法。第16题是正弦定理、余弦定理应用的问题，第17题是立体几何的位置关系与角度问题，第19题是函数与导数中的切线、单调性与最值问题，第20题是直线与椭圆的位置关系问题，这四道题所考查的都是高中的主干知识，使用的方法是通性通法。这种考查方式，有利于减少死记硬背和机械刷题的现象，切实减轻学生的学习负担。

试题符合学生的认知规律以及学生的实际，在问题设计时，通过层层递进，为学生的思考搭建台阶。如第12题和第13题都设置两空，第一空为第二空适当做铺垫。第21题第（Ⅰ）问，只要能够正确理解题意，大部分学生能够完成；第（Ⅱ）问要把抽象的性质转化成具体的数值，部分学生能够完成；第（Ⅲ）问对学生的数学素养提出较高要求。因此，该题的层层设问，为不同水平的学生搭建了施展才华的舞台。

二、试题在素材选取上，源于现实世界和学生生活

北京卷在试题素材的选取上，真实、自然、合理，突出对学习能力的考查。如第6题的党旗五种通用规格，融入建党百年主题教育的素材；第8题的24小时的降雨量及其所属等级；第18题的“10合1”与“5合1”新冠病毒核酸检测方法，把伟大抗疫精神等作为立德树人的重要载体，体现数学的应用价值。

三、试题在呈现方式上，增强试题的选择性和开放性

北京卷采用多种方式，对试题的形式进行动态调整和适度创新，增强试题的选择性和开放性。在题型上进行了创新，设计条件或结论开放、解题方法多样、答案不唯一的试题。如第14题，要求学生根据一点和其关于y轴对称的点，给出q 的一个取值，试题答案不唯一。学生需要根据已有的信息，理解三角函数的概念，并用旋转的思想和y轴对称的特征解决问题。该问题考查学生思维的灵活性和多样性。

与2020年试题相比，2021年的第16题是结构不良问题，在考查学生的选择性方面又前进了一步，增加了一个不符合要求的条件，需要学生进行判断和选择。题目要求学生在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，其中条件①与已知题设矛盾。条件②与条件③分别给出三角形的周长与面积，两问设置具有层次性，题目求解方法多样，考查学生对于基础知识的理解和运用能力。

北京卷在命题技术和评分量表上进行持续探索，以提升命题的质量。如第15题设计分层赋分试题。这种设计有利于保障试题的区分和考查效果。

四、试题凸显对问题解决能力的考查，为学生的可持续发展打下基础

北京卷的命题，不仅体现人才的选拔功能，还注重价值引领，凸显对问题解决能力的考查，引导学生去探索，应用数学知识去解决职场与生活中的实际问题。

如第18题，紧密联系社会重大问题，具有拓展性。是不是“10合1”总比“5合1”的效率高？在大规模检测中是不是可以提出更高效的“k合1”方法，比如“100合1”？诸如此类的问题会引发学生持续的探索和研究，从而发展他们的发现与提出问题能力。

第21题以数列为载体，考查归纳概括、分类讨论等数学思想方法，考查数学抽象、逻辑推理等数学素养，有助于引导学生问题解决能力的发展，从而由做题到做事，为未来进一步学习奠定良好基础。

2021年是新高考改革的第二年，北京卷继续保持“入口易、口径宽，深入缓、出口难”的特点，坚持“立德树人，服务选拔和引导教学”的命题指导原则，稳中求进，形成了“一个中心，两个维度，六大素养，四条路径”的评价体系，围绕着强化中心，丰富维度内涵，突出素养，优化路径，促进中学对“四具备”人才的培养，引导教学在“六个方面”下功夫，助力学生德智体美劳全面发展。

数学试卷试题分析

2021年高考北京数学试卷整体上符合国家课程标准要求，结合北京市高中数学教学现状，知识要素覆盖全面，数学素养考查突出。

相比于去年，数学试题在试卷结构、考试内容和难度上保持一致。题型依然是选择题、填空题和解答题，每一部分题型的难度预设基本符合从易到难的分布。

试题的表述形式简洁、规范，图文准确并相互匹配，呈现方式及作答方式坚持多样化，延续了北京数学试卷“大气、平和”的特点。命题的总体稳定有利于考生稳定心态，正常发挥，考出自己的数学真实水平。

No.1文化浸润，立德树人

试卷第（6）题，以中国共产党党旗的图案和规格为背景考查数列知识，体现了《深化新时代教育评价改革总体方案》的要求，着眼于传承红色基因，引导学生关注党的知识和历史。

第（16）题是以常规三角函数为背景的题目，改变相对固化的试题形式，设计学生自主选择已知条件的任务，增强了试题的开放性，有助于减少死记硬背和“机械刷题”现象，有助于减轻学生过重的学习负担。

第（8）题，设计了收集雨水的应用性题目，将环境保护教育、生态文明等主题教育与数学测试试题有机结合，引导学生树立尊重自然、顺应自然、保护自然的发展理念，展现了数学的教育价值，贯彻了《中小学德育工作指南》。

No.2稳中有变，适度创新

相比去年，数学试题在保持整体稳定的基础上，又体现了适度创新。例如将结构不良问题放在了解答题第一题，虽然难度不大，但与去年不同的是所给三个条件中，有一个是不成立的，而另外两组成立的条件在解法上也有所不同，为学生展现数学思维能力搭建了平台。

再如第（3）题，考查了常用逻辑用语的必要条件、充分条件、充要条件的内容，与去年试题相比，位置相对提前，但降低了考查的难度，更加凸显了考查考生对相关概念的理解和掌握。命题的适度创新，增强了试题的灵活性，为引导教学、防止题型固化、命题方式固化起到了积极的作用，也有利于对学生能力素养的考查。

No.3重视基础，突出主干

在考查数学的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）中，突出数学学科特色，着重考查学生的理性思维能力，发挥数学作为基础学科的作用，重视考查中学数学基础知识和方法的掌握程度，重点考查主干知识与内容。

例如，选择题的前5道题和填空题前3道题，涉及内容都是基础知识和基本方法，考查了集合、复数、充要条件、三视图、双曲线的性质、二项式定理、抛物线的性质、平面向量等内容。在试题设计上，这些试题涉及的知识点相对单一、思维相对简单，易于解答。

在此基础上，试卷对主干内容重点考查，体现了对数学知识考查的全面性、基础性和综合性，6道解答题中重点考查了解三角形及立体几何、概率统计、导数、直线与圆锥曲线、数列综合等主干内容。解答题的前2道题，题干简洁表述清晰，集中考查了解三角形和立体几何的主干知识及核心概念。

No.4强调本质，考查素养

试卷突出体现数学学科素养，在关注考生未来发展的同时，以能力立意，强调对数学方法和数学本质的考查。

如：选择题第（6）题和第（8）题考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力，体现数学建模素养；第（20）题考查了解析几何中的主要方法，需要学生具备一定的数学运算核心素养和解决问题；第（15）题考查推理判断能力与灵活运用知识的综合能力。

第（21）题以数列为载体，考查归纳概括、分类讨论等数学思想方法，考查学生对新概念的理解，考查学生获取新知识的能力和对新问题的理解探究能力。

第（4）题求四面体的表面积需要学生能根据三视图作出直观图进行求解，考查直观想象素养；第(17)题以正方体为载体考查直线与平面平行的性质及二面角的相关知识，考查逻辑推理和运算素养。第（13）题，考查的是向量的运算。基于向量具有几何和代数双重特征，本题既可以用坐标计算，也可以借助几何直观解决。

No.5突出数学应用，体现数学价值

试卷中设置以源于社会实际和学生真实生活的情境，引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值、美学价值。

例如第（6）题中，5种规格中国共产党党旗的长与宽的比值都相等，近似于黄金分割，体现出党旗与数学之美的结合。第（8）题以学生综合实践活动切入，通过计算圆锥形量雨器内雨水的体积，求出降雨量，既提供了学习生活中解决现实问题的事例，又考查了学生分析和解决问题的能力。

再例如第（18）题以当前我国常用的大规模核酸检测“k合1”方案为情境，求解检验次数，研究分布列和期望，尤其是对“10和1”与“5合1”两个方案的对比，感受方案选择与感染人数的关系，既考查了学生概率统计的知识和思想方法，也体现了数学模型在解决现实问题时的优化作用。

纵观整份试卷，保持了北京试卷综合、灵活的特色，稳中求变。

在突出基本知识、基本技能和基本思想方法考查的同时，突出考查学生的数学素养，展现数学的应用价值及学科育人价值，给不同能力水平的学生提供了展示的平台，对数学教学起到了积极的引导作用。

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高级教师 黄炜

北京教育科学研究院

高级教师 李青霞

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