北大学子备考锦囊丨韩昀致：厚积薄发，妙悟数学

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学生姓名：韩昀致

毕业中学：江苏省淮阴中学

就读院系：北京大学数学科学学院

概述：中学的数学

数学，是一门所有中学生都不会感到陌生的学科。诚如卡尔·马克思所说：“一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。”数学是一切自然科学的基础，从个人角度看，一名学者数学水平的高低很大程度上决定了他的研究深度；从人类角度看，数学学科的一次次革命与发展推动着人类社会生产力水平的提高，数学学科的重要性不言而喻。

在中学的求知阶段，我们不再满足于小学时对数学学科的偏感性认识，而是更为系统与全面地接触并掌握数学知识，培养严谨科学的数学思维。中学的数学学习无疑是基础的、关键的。而数学历来也是中学各种考试的重难点、“生命线”，很多时候这一门学科便可以拉开巨大的分差，区分度极大。因此，无论是基于功利应试的层面还是人生未来的层面，中学数学都不可谓不重要。

然而，从初中到高中，数学也是令无数同学忧心忡忡的一门学科。在数学学习中出现的各种问题，归根结底在于其巨大的训练量、计算量、思维量让中学数学的学习非常需要学生具有正确的心态、恰当的方法、严谨的规范与灵活的技巧。这四者相辅相成、缺一不可，当数学学习遭遇瓶颈或产生波动时，我往往从这几个角度加以反思与改进，取得了不错的效果。在此，我希望用这篇文章，讲一讲我个人对中学数学尤其是课内部分的学习经验，能为需要它们的同学提供一些绵薄的帮助。

1.心理与态度

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海

在阐述一些具体的做法前，我想先简单表明我所认为正确的数学学习心态，毕竟心态好比一门学科学习时的心理底色，也有一定的共性，定下了心目中这门学科的基调。

中学数学的成绩，从来不是仅仅由天赋或智商决定的，甚至可以说，这些因素在其中的影响并不大。如同任何一个中学学科一样，影响最终成绩高低的最直接因素，除去临场的状态和不可预知的考运外，就是平日里在这门学科上的付出与积累，和考前复习所做的准备，谁都不能在数学学习中选择躺平。

所以，每一名同学都有学好数学的潜力，对于自我要求较高的同学，更应当追求数学学科的卓越。值得在这门学科上做出的努力是没有极限的，遭遇到困难意味着训练思维的增长点的出现，而非是驻足退缩的理由。无论是谁，数学学习的目标都应是始终向上、精益求精，追求尽可能接近满分，拒绝小富即安。

一分耕耘，一分收获，为学习数学所花的精力，总会在某一天带来一定的回报；持之以恒地钻研数学，终可以在数学之海中乘风破浪。不惧怕数学、具有迎难而上的韧劲与耐挫力、永远保持自己可以学好数学的乐观与坚定并愿意为之努力，这是学习数学应有的第一点心态。

也有一些同学会走向另一个极端，也就是过分地依赖大量刷题、一段时间不学数学就会焦虑，这当然也是不必要的。数学终归也是一门中学学科，的确需要大量的投入，但也不必为了数学影响到其他学科，或是不理性地花费宝贵的时间去做没有太多效果的事。平静地对待数学，反而会有助于思维的活跃与注意力的集中，也更容易把数学学好。戒骄戒躁，以一颗平常心对待数学，不太过紧张而影响正常的思考，这是我想说的第二点心态。

而更高一个境界，则是在学习数学的过程中感悟到数学之美，体会学习数学的乐趣，从中感受心灵的平静与思考的纯粹。考特说过，“数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。”虽然我们的水平与眼界不及那些数学大家，但当我们苦苦思索一道题后终于豁然开朗时，当学习数学的日日夜夜化为成果时，那种喜悦是真切的；一道巧妙的题目，不仅考验了能力，更让人不禁惊叹出题者的巧思与数学的结构美；小心谨慎地完成一道陷阱重重的题目，正是一次对严谨科学精神的接触。

将自己沉浸于数学学习中，总有一个时候，你会发现自己对于数学的兴趣，数学学习也就成为了一种自然的乐事。

这三点心态来自我自己的数学学习过程，我相信，秉持正确积极的心态，数学终会成为一位良友，让人受益无穷。

2.学数方法论

千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金

光有心态，对于中学数学学习是显然不够的。中学数学的学习讲究“精讲多练”，基础的知识经过老师们一年年的拓展与挖掘，产生了千变万化的题型、不计其数的考点、不容小觑的难度，考试的内容对于中学的学习时间而言是繁多的，停留于表面的刷题无法真正解决问题，所以不可“把题目带进考场”，而应“把思维带进考场”。数学学习没有捷径存在，数学成绩不会无故阶跃，我的方法没有什么耸人听闻的秘技，也不宣称什么奇迹，唯有坐得住、学进去、勤思考、多总结，最真实的数学水平才会一步一步地提高，经得住各种试炼，在风雨中立定脚跟，踏石留印。

广义上的方法可以分为学习的方法和解题的方法，后者更多的属于技巧一类，本章先重点就前者进行介绍。中学学习在时间上可以分为两个阶段，一是初中阶段，二是高中阶段，二者具有很大的共性，但也有一定的差别。具体而言，初中数学的学习难度相对平和，高中数学的学习难度则较大，因而高中数学需要的方法也会更多。总体来说，日常的中学数学学习有如下过程：预习、课堂、作业、订正、练习、复习、考试，每一个过程都十分重要，相辅相成。

预习是学好数学的第一步，但也是经常不被重视或缺乏正确方式的一步。有同学通过课外辅导过早地学习超过其所在年级的知识，这种阶段性的预习意识是好的，对于以竞赛为目标、能力较强的同学，这是适合的预习，但我个人认为这对于以普通高考为目标的学生而言没有必要，一般来说在每个学期前能把这个学期前几章的内容进行预习便足矣。这种“总预习”可以让学期在开始时的压力不那么大，也更容易把知识掌握牢固，更快进入学习状态。

中学数学的预习肯定不能止于翻一翻书本，无论是自主复习还是依靠辅导，一定的训练是必要的，先拿一本资料把对应单元的题目做一做，根据做题的感觉在课本中寻找相关内容并进行理解，对课本有大致的印象，可以更高效、更有针对性地完成预习准备。

除此以外，预习还发生在每一天的学习中，通常中学数学的讲义会分为课堂精讲和课后练习，课堂所要讲的例题，就是前一天预习时要提前完成的部分。这种分散在日常中的预习，最好配合精读课本上的相关内容，尤其是课本中的定理定义、思考题和补充内容，这些不只含有标准的解释和有关的思想，还是考试的依据，在课堂中也涉及较少，及时跟进课本可以让学习变的扎实。

此外，预习的好坏并非以能否做对为标准，预习本来遇到的就是陌生的知识与题目，不会做、做不对无可厚非，关键在于是否留下了有效思考的痕迹，做对了有什么心得？思路进行不下去是哪里出了问题？想到的多种思路哪一种更好？带着自己的观点与疑惑进入课堂，才能让学习事半功倍。

无论是什么学科，课堂都是学习的核心区。课堂的内容中或许会有自己已经熟练的内容，但就在这些自以为熟悉的内容中，老师在某一个瞬间的板书或讲解可能就包含着几十年经验带来的重要提醒。

课堂中学生应该是主动的，把细微的关键点从一节课堂任何可能的位置中发掘出来，这需要注意力的高度集中，切忌长期在课堂上做作业或走神，否则千里之堤，溃于蚁穴，日积月累的损失会带来可怕的后果。

除了集中精力听讲，课堂上还需要尽量随堂理解好老师的思路、记忆住评讲的知识点，不能太自信于自己的课后复习能力。对于中学数学的课堂笔记，我的看法是记下例题，解答不要去匆忙地记录，留到下课后凭借对课堂的回忆再去完成，这样做笔记的过程也就成为了回顾课堂、加深理解的过程，充分利用了笔记，当你在课后可以完整无误、没有疑惑地完成例题，也就对例题有了深度的见解，同时也不会因为记笔记分散了精力而错过课堂的内容。

另外，在数学课这样一个对学生课前与课上思考力要求高的课堂，真正优秀的学生往往能主导课堂的节奏，而不是做被动的接受者，同学们在课堂上应该积极发言，展示自己的思路方法，这样数学的课堂将会充满生机。

作业与订正是紧随课堂的，老师监督力度较高的硬性练习与整理，质量较高，需要珍惜。对于作业不应当仅以完成为目标去用零碎的时间把完整的一份学案拆散，而是应该留出整段的时间限时、高质完成，配合作业对每天的课堂内容及时巩固，把作业的完成效果最大化。

作业的订正也不能满足于记下一个答案，最好的态度是附纸订正，以最严格的大题标准要求过程，愿意的话还可以抄一下题干来强调审题的重要，简单对错因进行分析，便于复习。

关于错题本，可以根据自己的需要进行选择性的整理，建议在高中阶段备有两本：一本记录相对低级的错误点或知识盲区，逐条记录提醒自己；另一本记录难题大题的步骤思路，积累方法、提升思维，错题本应以实用为先，不要去为了外在的形式耗费大量时间。

课外自主的练习与作业相对，属于“老师建议+自主选择”的偏软性练习。中学数学的课外练习很多时候会进入一个误区，即大量训练，遭遇难题怪题导致焦虑或依赖心理，为解决焦虑而选择刷更多的题，渐渐走上题海战术的道路，影响正常课内学习。

选择一本适合自己的、高质量的、题量适中的练习册，是从源头上解决这个问题的第一步。课外拓展要记住不刷情绪题、不刷急躁题、不刷偏门题、不刷毛病题，练习只需要一本，重在自己对其有始有终的对待与利用，像对待作业那样对待练习，用练习补充作业，着重练习弱点难点，练习才会有效。

对于中学数学而言，考前的复习虽说是临阵磨枪，但也可能帮助避免考试时低级错误的发生，带来考试的底气与自信，因此复习的主要内容包括作业中的错题、课堂的笔记以及平时整理的错题本。

考试是总结提升的好机会，一名中学生的数学能力总是在一次次考试的洗礼后成长。考试时的技巧可以粗略的概括为几个关键词：调动精力、因题用法、分配时间、顾全大局，以最佳的状态迎接考试的检验，考后认真做好反思总结，进步与突破终会萌生。

3.规范很重要

慎对易处以避难，敬待毫微致远大

这一部分我想通过规范强调中学数学的代表性学科品格：严谨细致。规范是什么？规范不是死板的答题套路，规范可以是看得见的，是优美工整的卷面，条分缕析的答题步骤；规范也可以是看不见的，是草稿本的有序利用，审题时做的圈圈画画。当老师第一次向我指出规范的重要性时，我也曾把规范当做是便利阅卷老师的表面功夫，不需要认真对待，但在不断地试错与改进中，我发现规范带来的红利，远远不止给阅卷老师带来好印象这么简单。

第一，以2023年数学新高考一卷为例，很多考生踏出考场后表示试题简单，但这类考生的成绩往往不如人意，一部分原因正是本次高考阅卷对过程分改得细、要求高，在平日里就关注规范，在中、高考较高的阅卷标准下具有一定的直接优势。

第二，除了客观因素，规范的存在更对学生自己有着主观上的正面效果，如果做题时谨守规范，做题速度必然无法过快，看似教条的规范实则是历来教学实践的经验之谈，遵守规范的同时也就规避了大量如审错题、计算错等非智力因素失分。

第三，规范也并非完全的一成不变，融入一定个人风格的规范其实体现了个人的思考特性，有助于个人数学思维的培养。

揆其本质，规范反映了中学数学力图培养的严谨学风。严谨意味着理性与确定性，这也是数学最吸引我的一点。高一时刚刚接触立体几何时那堂有关公理的数学课令我记忆犹新，那节课的内容本身并无难度，但老师却带着我们利用基本事实，结合课本将公理一一证明，课堂兼具思维量与趣味性，深化了我们对基本事实与公理的理解。

看似显然的结论，若没有可以穷尽客观事实的证据将其证明，那也只是一个猜想。数学史上体现严谨之重要的例子不胜枚举，譬如双曲几何与椭圆几何的建立；譬如强小数定律的告诫；还譬如让学者一度怀疑计算机故障的Borwein积分……只凭借客观的验算与逻辑判断对错，这是令我激赏的数学之坚固。当自己被一道题目的陷阱欺骗后愤懑不平时，不妨想想其对规范的引导，想想其反证的严谨的必不可少。

一言以蔽之，着眼于细节处的规范，是一个扎根的过程，有了这么一个根本，才能生长出参天大树。

4.技巧的悖论

剥尽皮毛见本真，此中无古亦无今

即使是最优秀的同学也会不经意间因为对奇技淫巧的追求陷入困境，但答题技巧也是无数有关中学数学的参考书的关键卖点，我即使穷尽这整篇文章的篇幅，离讲完中学数学所有的技巧也遥遥无期，何况我也不知道所有的技巧，甚至不知道中学数学的技巧是不是有限的，所以我并不打算写怎么做题，而是要写写我对于技巧本身的观点。

技巧是有用的，尤其是对于解析几何这种计算量巨大的题型，适当地积累一些针对特定问法的技巧，无疑可以在面对相应问题时省下大量时间，例如在解析几何大题中齐次化、平移齐次化、运用基本不等式与“1”的代换求最值，这些技巧确实很有用。但问题有内外两点，外是高考以创新为导向，像2023年数学新高考一卷的压轴解几就很难在考场上想到什么平常多用的技巧；内是学生对技巧的掌握通常停留在完整解题的 “后半段”，也就是说，老师与教辅比较容易讲明白一套技巧的工作原理，但很难讲明白这套技巧的产生原理，或只能牵强附会地讲明白。

如通过构造一元二次方程利用根的判别式证明Cauchy不等式的技巧，第一次听到时确实给我带来了惊叹，但惊叹之后呢？没有之后，那个技巧在其他地方几乎毫无用武之地。打一个比方，技巧就像是一把把大小、花纹各不相同的螺丝刀，它们可以轻松地把对应的螺丝拧进洞里，但当你遇到了一个从未见过的螺丝，你却没有办法制作出一个与之匹配的螺丝刀。这就是技巧的困境。

怎样走出迷宫，不做技巧的囚徒呢？答案是：练好一把锤子。这把通用于所有型号的钉子的锤子，就是通性通法。高考压轴题固然难，但耐下性子列式联立计算，用最基本的韦达定理、消元法和求导求最值，证明最终自然完成了。中学数学不强求太多技巧，高考更不会考察技巧，回归课堂书本中的基础，那里就有最好的技巧。

总结一下：我们需要适当掌握技巧，但技巧不会是中学数学的重心所在。

写在最后：关于竞赛

本文主要面向课内学习写作，但竞赛也是中学数学，特别是高中优秀学子们绕不开的话题，在结尾一笔带过。

本人参加过高中数学竞赛，虽然是半路出家，也取得了一些成绩。竞赛竞争激烈，对于要不要学的问题，我的答案是数学竞赛对于课内学习存在一定的帮助，但并没有太多直接的优势，很多竞赛生反而会因缺乏良好的习惯而在课内数学学习中存在劣势，但竞赛会丰富中学数学的课内内容，这本身也有很多更长远的益处。综上，我还是会推荐有能力的同学分一些精力尝试数学竞赛，至少这一面之缘给我留下了美好的回忆。