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2024年上海市中考数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）如果x＞y，那么下列正确的是（）
A．x+5≤y+5B．x﹣5＜y﹣5C．5x＞5yD．﹣5x＞﹣5y
2．（4分）函数
的定义域是（）
A．x＝2B．x≠2C．x＝3D．x≠3
3．（4分）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A．x2﹣6x＝0B．x2﹣9＝0C．x2﹣6x+6＝0D．x2﹣6x+9＝0
4．（4分）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（）
种类
甲种类
乙种类
丙种类
丁种类
平均数
2.3
2.3
2.8
3.1
方差
1.05
0.78
1.05
0.78
A．甲种类B．乙种类C．丙种类D．丁种类
5．（4分）四边形ABCD为矩形，过A、C作对角线BD的垂线，过B、D作对角线AC的垂线．如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）
A．菱形B．矩形C．直角梯形D．等腰梯形
6．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）
A．内含B．相交C．外切D．相离
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）计算：（4x2）3＝．
8．（4分）计算：（a+b）（b﹣a）＝．
9．（4分）已知
，则x＝．
10．（4分）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2×105GB，一张普通唱片的容量约为25GB，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）
11．（4分）若正比例函数y＝kx的图象经过点（7，﹣13），则y的值随x的增大而.（选填“增大”或“减小”）
12．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝66°，则∠BAC＝°．
13．（4分）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为万元．
14．（4分）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是
，则袋子中至少有个绿球．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上一点，设
，若AE＝2EC，则
＝（结果用含
，
的式子表示）．
16．（4分）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和AR增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人中需求情况如图所示（一人可以选择多种）．那么在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有人．
17．（4分）在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分别为C′，D′，若AC′：AB：BC＝1：3：7，则cos∠ABC＝．
18．（4分）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线
“开口大小”为．
三、简答题（共78分，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19．（10分）计算：
．
20．（10分）解方程组：
．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝
（k为常数且k≠0）上有一点A（﹣3，m），且与直线y＝﹣2x+4交于另一点B（n，6）．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线l∥x轴与直线y＝﹣2x+4交于点C，求sin∠OCA的值．
22．（10分）同学用两幅三角板拼出了如图的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．
（1）若直角三角形斜边上的高都为h，求：
①两个直角三角形的直角边（结果用h表示）；
②平行四边形的底、高和面积（结果用h表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：①不与给定的图形状相同；②画出三角形的边．
23．（12分）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．
（1）求证：AD2＝DE•DC；
（2）F为线段AE延长线上一点，且满足
，求证：CE＝AD．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线
后得到的新抛物线经过
和B（5，0）．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
25．（14分）在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且
．
（1）如图1所示，点F在边CD上，且
，联结EF，求证：EF∥BC；
（2）已知AD＝AE＝1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的圆心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N．如果∠DMC＝∠CEM，BC＝4，且CD2＝DM•DN，求边CD的长． |
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