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原创 贼叉 小花生网
橘子：今天，请到了一位资深的数学老师跟大家聊“娃学数学”的事儿。
他曾担任过浙江省高考阅卷人，还是浙大数学系毕业的博士，却有个能让人提起精神来的网名，叫“贼叉”！
这是他的“大头照”，是不是很有点做了很多年数学老师的那种风范？
贼叉，本名朱晓睿。他曾参加过多次浙江省高考、高中数学联赛、浙江大学自主招生及全国研究生入学考试的阅卷工作，对数学教学及应试有非常丰富的经验。
作为数学老师，他教过的、见到的实在太多了。所以，当我们去请他给家长们提提建议，怎么辅导娃的数学学习时，他说：能不能不用讲客气话，让我用“大实话”给家长泼泼冷水，好不好？
我们说，那当然好！
比起英语、语文，更多家长对孩子的数学学习心存焦虑（也许是小时候自己就吃过苦、吃过亏），认识误区非常多。既然有行业内的人、专业的人能带着破解迷思，何乐而不为呢？
所以，今天，我们请贼叉老师来和大家聊聊中小学数学学习中的一些关键问题，比如：
家长辅导孩子数学，能做什么，不能做什么？
超前学，何时可做，何时不可做？
奥数，哪些人该学，哪些人不该学？
刷题，聪明刷法 VS 笨刷法 ...
低年级数学一般，到了高年级能逆袭么？
为什么数学家写的数学书，对很多孩子来说是个坑？
等等 ...
是不是听起来就很带劲？
贼叉2020年，还出了一本书，叫《不焦虑的数学》，对这些问题有更细致的讲解。
来，一起听听这位资深数学老师“带刺儿”的大白话 ...
01
问：在“双减”的背景下，家长怎样辅导孩子的小学数学？
贼叉：首先澄清一点，能辅导孩子小学数学的家长其实并不多，多数家长充其量是能做点题，但是未必会教孩子。
而且大多数人本身就是随波逐流的。你问他们为什么要让孩子课外补习，他们的答案大多数都是：人家在学，所以我家也要学，不能落后。
这种攀比简直就和石崇王恺斗富一般的不理性，你家孩子报了两个奥数班我就要报三个；你报围棋我就报钢琴；你报大语文我就报少儿英语。
石崇王恺比富，西晋时期历史事件
他们搞不清楚孩子到底需要的是培优还是补差，是不是读书的料子，总之就是不能闲着——这些家长从来都是随大流，没有总体规划，或者有规划但是脱离孩子的实际。
一般说来，规划孩子的升学路径第一要务就是认清孩子实力，包括智力、学习习惯、身体素质等各个方面。不要制定不切实际的目标，否则的话只会让自己和孩子都陷入无尽的痛苦中。
我以前带过一个学生，他的家长就属于对孩子实力高估到令人发指的那种。为了把孩子塞进当地最好的民办初中，真是挖空心思费尽周折，最后总算是如愿。
然后家长在孩子小学毕业的那个暑假来找我，希望能利用假期让孩子抢跑。
然而这孩子学习习惯比较差，学得很不扎实，我就很反对。结果这家长不信邪，四处找老师，颇有和我赌气的意思。我断言这孩子考不进重点高中——最后果然没进，高考后去了一个很一般的学校。
这就是典型的认知偏差。在家长眼里，自家孩子当然是带着光环的。但是读书这事能自欺欺人么？
哪个老师手上没过过千八百的孩子，你娃真是奇才早两眼发绿光了。而且谁带到好的娃那都是开心的事情，毕竟这是给自己脸上贴金的机会。
根据马太效应（强者愈强弱者愈弱），老师只会玩命地给他叠加资源而不会让你去矫正孩子的学习习惯的，所以听老师说话一定要对他“但是”后面的话特别注意，这时候正确姿势是停止争辩想想老师到底要说的是什么。
不管有没有双减，一定要很清楚地认识孩子的资质和秉性，这是根本的行动指南。
马太效应，强者愈强弱者愈弱
话说回来，如果家长真心想助力孩子的小学数学，也是要抓住重点去进行。
对于大部分孩子来说，数学的辅导重点有两个：一是养成好的数学思维，二是加强运算。
数学思维主要还是靠家长和老师共同培养，不是一朝一夕能见到成效的，但是加强运算这件事，可以立竿见影地提高孩子数学成绩。这里简单讲讲如何加强运算。
小学数学的系统性相对而言是比较弱的，知识点比较零散，所以更加凸显锻炼计算能力的重要性。
比如，看似简单的两位数乘以三位数，本质上包含了对数的分解再组合的一个过程。
我经常能听到家长抱怨孩子脑筋不会转弯，不会灵活运用知识点，然而“灵活运用”这四个字最早的体现就是在对数进行拆分以后的运算。
连数的基本运算都没过关，那么其他的巧妙运算还能得心应手吗？
所以，夯实计算能力，对大部分孩子来说，是第一步可以做好的事儿。
02
很多孩子在通过“超前学”来提高数学成绩，你怎么看待这个现象？
贼叉：很多时候家长让孩子提前学纯粹为自己的虚荣心买单，完全不顾孩子的天赋和接受能力以及学业压力。就因为其他人的孩子提前学了，所以自己孩子不能落伍。
其实提前学最先解决的一个问题就是为什么要提前学？在中小学阶段，如果你要提前学有且仅有一个理由：当竞赛生。否则真的没必要。
按部就班地走，中高考数学一样很可以考得很好，而且可以把钻研竞赛的时间匀给其他科目，真正做到均衡发展。但是现在很多家长让孩子提前学的原因是别人家的孩子提前学所以我家娃也要提前，真的让人无力吐槽。
至于提前学有什么值得注意的地方，其实就一条：学一定学得系统，不要东一榔头西一棒，这个很重要。
你先吃一口饭，再吃一口水煮肉片或者先吃水煮肉片再吃饭，这个问题不大；但是你先点火再灌燃料火箭就上不了天，按部就班循序渐进，哪怕你提前也得按照学习规律来。
划重点：脚踏实地按部就班，孩子一样能考好；基础没打好一个劲赶进度，孩子照样能掉链子。反正我见过孩子小学毕业能把高考数学卷子做到110分高考也就考了120不到的，够超前吧？有什么用。永远不要为了超前而超前。
那么，如果孩子确实有数学方面的天赋，家长应该如何挖掘并培养？
我之前在某单位教书，碰到过两个好苗子，一直记到现在。
第一个娃是这样被发现的。当年我出了一个题目，问：狄利克雷函数是不是周期函数？如果不是，说明理由；如果是，是否存在最小正周期？
我当时压根没想到有学生能做出来，因为这批学生是从部队战士中考上来的，基础较差。结果有一个就做出来了，做得还很漂亮。
那时候已经有大学生去服役的了，我就问他是不是大学生入伍的？结果这家伙告诉我：“教员，我高中没毕业就去当兵了。”
这还了得？重点培养！后来他参加了大学生建模竞赛，拿了全国一等奖，还在读书的时候就荣立了三等功。
还有一个女生。我给学生们讲概率的时候讲过一个看似简单的概率题：求任意两个整数互质的概率。
这个题目听听容易，做做很难，从答案你就可以看出难度。我当时看到的解法是用函数做的。我也觉得他们做不出来，结果这个女孩子就做出来了，用初等方法，做得非常漂亮。
我给这孩子的评价是：这是该学校有史以来最好的学生，没有之一。
当然，他们两人距离天才还十分遥远，但已经足够让作为老师的我欣喜若狂了。所以说，你家娃假如真的是天才的话，老师大概比你还激动，根本轮不到家长来发掘。
03
现在奥数竞赛不加分了，还有必要让孩子学奥数吗？
贼叉：基本上所有的孩子都不适合学奥数。一直以来我的观点就是奥数只是工具，无所谓好坏。在普通的考试无法对学生进行有效区分的情况下，只能提升考试的难度来帮助选拔苗子。
换句话说：除去极个别的学生是真的对奥数有兴趣的，大部分孩子学奥数都是刚需，是被迫营业，唯一的目的就是考个好初中罢了。
小学奥数基本分成四部分内容：代数、几何、组合、数论。除去代数和几何以外，如果以后不走纯竞赛生的道路，组合和数论在娃今后的数学学习过程中是用不到的。
而小学奥数中代数和几何的训练重点对以后的数学学习的帮助也并不算是特别明显，一定要算的话就是培养起数感或者对图形的认知能力，但是娃如果聪明，就算不学，初高中完全也有可能学的好。
所以现阶段是否需要学奥数的答案已经很明确了：如果奥数是刚需，比如涉及升学、分班，那么娃肯定要学；
如果你觉得孩子以后就是要走竞赛生道路，并且有机会杀入国家集训队（全国前六十）直接保送的，那么也肯定要学；
如果让孩子学奥数就是为了开阔一下眼界，那么我建议你多给孩子看看科普书，就不要报班了；
其他的情况就都不需要学奥数了，说的够明白了吧？
其实这个问题还有一个更简单的答案，只要你问我孩子适不适合学奥数，答案就是不适合。适合学奥数的娃的家长是不会来问这个问题的。
实在想判断自家娃有没有奥数天赋怎么办呢？
其实，奥数的精髓在于学生自己去学那些稀奇古怪的东西，而且能学得明白，换句话说，你要判断自己是否具备学习数学的能力。
事实上，2019 年中国科学院大学“三位一体”面试的时候出了一道群论的题目，我是很喜欢的。因为我也曾经拿群的基本概念来测试过初一的学生是否有数学天赋，真的是一测一个准。
当年做出这个题目的两个孩子，后来一个在北京大学，一个在浙江大学。在浙江大学的那个家伙因为偏科，在高考时吃了亏，不然也是上北京大学的料。
所以，怎么测试孩子是否适合学奥数？如果孩子能够在极短的时间内掌握一个全新的高难度的数学概念——以能做出与此概念相关的习题为标志——那么孩子应该会比较适合学习奥数。
比如，你向一个初一的孩子介绍群的概念，然后问他：有理数是否成群？如果可以，要说明理由，如果不行的话，怎么操作才能让它成群？如果孩子回答对了，那就说明他挺适合学奥数的。
04
学数学到底要不要刷题，如何看待“刷题”这件事？
贼叉：“要不要刷题”根本就不是一个问题。我学数学、教数学这么多年，从来没见过不“刷题”就能把数学学好的人。没有做一定量的习题作为训练，想把数学学好，是不可能的。只不过，每个人需要刷的量不同罢了。
现在还有一种极度反对“刷题”的声音，他们提出的理由是：学数学需要思考。我认为这种观点也是不可取的，要知道，任何事情走向极端，都不是好事。
但是，有两种刷题方法，我是极度反对的，那就是“无脑刷题”和“低质刷题”。什么是“无脑刷题”和“低质刷题”？
“无脑刷题”是指一道接一道地做题，却不总结。这次怎么错的，下次照旧；就算这次做对了，也不知道自己是怎么对的，下次未必还能做对……总之，我做了那么多题，就行了！
“低质刷题”就是，翻来覆去地“狂刷”某个已经掌握的知识点的相关题目，但是，一旦看到不会的东西，就退避三舍。所以会的就会那么多，不会的永远不会。如果“刷题”走进了这两条死胡同，那刷再多题也没用。
我所提倡的“刷题”是高质量的、带思考的刷题。还是那句话：刷一道题要有一道题的效果，刷一道题就要弄懂一类题。一定要避免一个劲儿地刷同类题的误区；还要注意总结之前犯过的错误，不能光刷不总结。
“刷题”的意义有两点：一是帮助掌握知识点，二是提升熟练度。
做题也是巩固知识的有效途径。学习本身是一个漫长过程，从初步掌握到牢固掌握，仅靠思考是很难实现的，必须通过做一些难度呈逐级递进的习题，来实现。
举个例子，你说周期函数的定义是不是很简单？那么请你来回答这么一个问题：除了常值函数，是否存在没有最小正周期的周期函数？你要是把这个问题想清楚，那么你对“周期”的概念的领会能深刻许多。
我经常说，考试是有时间限制的，短短两个小时做完一张试卷，而且年级越高，考试中的计算量就越大，熟练度的重要性就凸显出来了。作为考生来说，最痛苦的事莫过于有思路，却来不及算出结果。
如果把考试时间延长到一天，我相信很多学生能够提高不少分数，但就是因为熟练度不够，思路来得慢，计算算得又不快，导致时间短缺。因此，对于99%以上把数学当作升学敲门砖的学生来说，刷题是必须的。
当然，大家要注意我在前面提到的那两个误区。
“刷题”必然需要做够一定的量，不谈“熟练度”的数学教学都是在“耍无赖”。
当然，每个人的天赋不同，达到某个高度所需做的题量，也是不同的。
比如，有人刷一万道题，高考能考150分，有人刷一百万道题，也达不到这个分数。不能因为看高手做了两道题，知识点就都会了，你自己就幻想做两道题也能达到同等程度。
毕竟，几百年来，人类中只出了一个欧拉，他可以“瞎算”——欧拉晚年双目失明，所有计算都是心算。我们这些凡人想理解一个数学概念，不做做题，根本不可能。
一定要注意区分，我们是否陷入了“无脑刷题”和”低质量刷题”的误区。
相对来说,“无脑刷题”比较好判断，就是看一共做了多少题，错了多少题。如果做的多，错的也多，那基本可以判定是在无脑刷题。
判断是不是低质量刷题，恐怕就需要你有较高的数学素养，才能判断出所做的是否属于同一类型题目。
如果孩子确实陷入了以上两种误区，首先还是要鼓励他们——起码，这都是肯动笔的孩子，比那些不动笔的懒人强得多。然后，我们要点醒孩子（是不是在低质量刷题，最好找老师帮你鉴别一下）。
至于如何纠正，最好能有靠谱的数学老师帮你纠偏，要么就靠自己调整，你能做的就是“结果导向”——看看做题的整体正确率是否有提升，是否能勇敢尝试不同类型的题目，等等。
05
你在书中提到不提倡“套路”和“解题技巧”，能具体展开说说为什么吗？
贼叉：很简单，套路和解题技巧一定是建立在基本功扎实的基础上的。然而大多数的学生基本功是不过关的，这就像地基不稳还要建摩天大楼一样。如果基本功真的很扎实，那么当然可以玩套路和解题技巧。
我以前教过的一个印象很深的学生，这个孩子是宁波一个普通的高中生，来找我的时候数学成绩很一般，但是心气很高，总觉得自己数学学得很好但是考的不好。
我稍微一翻他的卷子就知道，娃的问题和绝大多数学生一样，头重脚轻根底浅。我问他椭圆和双曲线的第二定义是啥，当场傻眼，不知道这玩意还有第二定义？然后我就说：对你而言，除了运算技巧，其他的一切技巧毫无意义。
后来我就让他动手开始做了一个解析几何的题。刚好那个题也是属于运算量大的，做了一半他就做不动了。我看了一下他的解题步骤，就只把方程联立了一下，有两个条件就不知道该怎么用了。我又帮他把这些条件都转化完了，剩下的就是算。
式子都列完了，而且都是列的对的，只剩下计算，你觉得最后这孩子把题目做出来了么？显然没有。在经过一系列繁到怀疑人生的计算之后，娃彻底放弃了。
我说，我来。然后还是那几个式子，甚至我连一点计算技巧都没有用，就直接开始硬算，最终得到了正确答案。我问娃：是不是这几个式子？答：是。我又问：有没有花哨的技巧？答：没有。我再问：为什么你算不出来？又不说话了。
事实上，到了高中数学，有一个很大的难点是当你题目做不下去时，你无法判断到底是自己路走错了还是计算出现了问题。事实上，解析几何的题目多半还是计算上的问题偏多一些。
应该说这对娃的冲击还是相当大的。就是在他算不下去的地方硬算出来，从而以实际行动告诉他计算到底有多重要。然后我又翻开参考答案让他看，看了一会告诉我看完了。
我问他看懂了么，说看懂了。我说巧妙么？他说巧妙。我说巧妙但是你想不到。这种巧妙的做法我如果做教研的时候也能想出来，但是考场上我估计也够呛能想到，我的第一反应就是你这种朴实无华的。
巧妙解法一定是你基本功相当扎实了，然后在实战中自然而然流出来的。换句话说就一眼看过去能想到有巧妙解法，那就用，如果你想现找，那对不起，还是老老实实用朴素的解法吧。
很简单，不是每个题目都有巧妙解法的。你要找巧解，首先得确认这个题目能否巧解；其次才是巧解如果存在，那么怎么找到。能够判断出来这个题目有没有巧解时间，你用常规做法可能已经能做掉一小半了。
巧妙解法是让你膜拜的，几乎没有什么实战意义。
你一个连普通解法都够呛的娃，还想巧解？太祖长拳虽然是大路货，那也得看谁用。在乔峰手里，那也是能神挡杀神，佛挡杀佛的，不能因为你自己用不出来就说它没用——然而倚天剑不会用的话是真的能伤到自己的。
06
到了小学中高年级和初中，学生数学学习遇到明显困难时（往往是不理解的东西越积越多），建议他们如何突破障碍？
贼叉：“刻意练习”这个概念的是佛罗里达州立大学的心理学家 K. Anders Ericsson首先提出来的。
所谓刻意练习，其核心是专家级水平是逐渐地练出来的，而有效进步的关键在于找到一系列的小任务让受训者按顺序完成。这些小任务必须是受训者正好不会做，但是又正好可以学习掌握的。
首先一定要明白一件事：不是每个人都能把数学学好的，你的天赋决定了你的天花板在哪里。不要相信所谓的努力就一定能成功这样的鬼话，努力的意义只能是超越你自己。
然而努力是一态度，朝着对的方向努力是一种能力。很多时候，孩子的各种努力其实是无用功。很多人特别喜欢用努力感动自己，具体表现在练来练去练的都是自己已经会的东西。想要突破障碍你，就一定要进行刻意训练。
那么怎么进行刻意训练？
我们要把自己所有做过的卷子先整理起来，这时候要做一个统计，可以把题目分成了以下几类：
会做的而且熟练的；
会做但是耗时长的；
会做但是空着没做的；
压根就不会做的。
对于第二类要做适量的题目，更多的是想，为什么速度上不去，到底卡在哪里？这部分题目速度如果能上去，那么效果是立竿见影的——因为就有时间留给第三类题目。
至于第四类，有的学生可能会想，压根不会做的我怎么练啊？
首先，要把这些不会的题整理起来，然后一道道啃，就是把自己能想出来的招都写出来，然后和标准答案去对比——注意，一定要做到力竭！
就是说你要在黔驴技穷的情况下再去看答案解析，只要自己还有一点想法，不管对错，都把自己的想法写出来，然后比照答案，看看自己有没有一点点沾边的，只有这样才会有锻炼效果才会刻骨铭心！
这一切的基础就是你必须要做好前面的分类工作，如果没有这个分类，你的这种刻意训练针对性就不够强，效果就会大打折扣。
总结一下：提升会做但是做的慢的题目的速度，死磕自己的短板，以及长时间的坚持。
07
你曾担任多次浙江高考数学阅卷人。在你看来，高中数学难在哪里？小学、中学数学成绩不那么理想的孩子，到高中还赶得上吗？
贼叉：这个概率很小，但是也不能说完全没有可能。
统计规律对个体而言并不一定适用，确实存在极个别的案例，孩子在小学初中的时候贪玩，连滚带爬上了高中，然后幡然醒悟，一路开挂。
只不过千万别幻想自己孩子是这样的人物就好。
如果娃的数学基础已经落下了，除了学习方法和运算能力，最重要的是提高娃的执行力，迎头赶上。
给大家讲一个真实的案例。
最早开始教数学的时候，我曾经带过一批很不错的娃，后来这批娃中有不少人进了清华、北大，就算没去这两个学校的，基本上也都去了全国最顶级的那几所学校。
当然，这和孩子本身的素质分不开，我也许只是做了一点微小的贡献。在这批娃里，有一个孩子的资质很一般，一般到别说放在这个班里，就是放在普通的班里也不算出挑，最多就是中上等的水平。他就读的初中也是宁波一所很一般的学校。
但是，这个孩子最后考取了一所全国排名很靠前的985高校，学校在国内排名十五左右。讲道理，我根本没想到这孩子能考到这个分数，尤其让我吃惊的是，他数学考得很好，接近140分了。
他在中考的时候没有考进宁波最好的高中，而是去了重点中学里的末流。入校的时候，他成绩排在中上等，最后高考成绩是全校第一。
后来我想了想，他取得这样的成绩绝非偶然，因为这是一个执行力超强的孩子……
无论我说什么，这个孩子总是在自己的能力范围内做到极致。他的接受能力和反应能力就是一般水平，但在我教过的学生里，他每一步走得都是最稳当的。
从一开始，这孩子就进入了我的视线。我会抽查学生默写，每次默写平方表，这孩子都是表现最好的。虽然他做难题的表现很一般，但是对于我讲过的话，他落实得最充分——从执行力的角度来说，这个孩子可以打满分。
比如，我在这本书中讲了很多关于数学教学和学习的方法，总体来说，是比较有可操作性的，但不知道有多少人能按照书中的要求去做，去指导孩子？指导完了以后，又有多少人能检查落实情况？再先进的经验不去落实，那是神仙也帮不了你啊！
08
请贼叉老师推荐些数学课外读物。尤其是适合小学和初中孩子读的，促进发散思维的、提升数学素养的；适合家长读的也可以包括在内。
贼叉：其实这是一件很困难的事情，因为每个孩子的需求都不同，比如他是要学奥数？升学考？培优？补差？激发学习兴趣？当然，你可以带孩子去书店让他自己挑，但是孩子自己挑出来的书不见得就适合他。
理论上最好的方案就是给孩子量身定制，先对孩子的整体情况有个了解，然后根据其自身特点帮着挑书，但是你挺难找到这样的内行来帮你做这个事情。所以在这里给大家列几个总的原则，相信也能帮你缩小范围。
首先，尽量不要挑数学家写的——除了中科院出的那套《数学小丛书》（华罗庚），我还真的没看见什么大数学家把科普或者中小学数学写得让孩子或者家长觉得很好的——如果你从事数学相关工作的一定会对这些书赞不绝口。
甚至于《数学小丛书》这套书有很多家长买了以后纷纷向我吐槽说太难，搞得我以后看见数学家写的就只能绕道走。他们写的书一般对孩子都不太友好，而且书名一个比一个谦虚，内容就一个比一个恐怖。
凡是带有讲义、初步、简明字样的数学书千万别给孩子买，如果想摧毁孩子学习数学的兴趣，那么你就下手。真的，听人劝吃饱饭。这种书别说你娃，我看了都肝颤，别问我怎么知道的。
其次，尽量挑写得厚一点的书。我们的目的是让孩子能够更好地学习数学，所以书写得越仔细，上手也就越容易。数学书厚，要么就是例子多，要么就是对基本概念、解题过程写得很详细。而且单位时间内内容越多就越好。
比如说两本书都是六百页，但是一个内容是初一代数，一个是初中三年数学全集，那么一般来说前者会更细致，对初学者也会更友好一些。
作为作者来说，要尽量把读者想的白痴一些，更白痴一些。越是这样想的作者，书的可读性往往也就越强。一本数学书是否容易上手的一个重要标志就是你翻到那些写显然的地方，如果这个显然是真的很显然，那么可以果断入手。
第三，不要买家长都完全看不懂的书。能关注到这篇采访的家长一般来说都受过高等教育，如果一本非竞赛类的中小学数学书你完全看不懂的话，也不建议你入手，因为很可能对孩子来说太难了。
第四，如果是习题集，那么解答越详细越好。最好是选择填空都带有详细过程的那种，而且针对性越强越好。比如说高考数学历年真题解析，前面二十页试题后面两百页解析，这种看起来就比较靠谱，而且针对性强。
千万不要跨区域买习题集，特别是有些名气大的地方出的密卷、内部试卷，一来难辨真假，二来就算是真的，你不在那个地区做了也白做。
以上这些都做到了，不敢说你一定买到最适合孩子的数学参考书，但是一般来说也不会掉坑了。 |
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