高中数学必修一思维导图+知识点+必考题型+综合训练

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集合的概念与运算：

集合元素有三性，确定无序还互异。

表示方法有三种，列举描述韦恩图。

代表元素要认准，从属包含要分清。

子集别把空集忘，2的n次是总数。

交集两个都要有，并集沾边就能行，

补集全把本身抛，图形运算更直观。

反演律、很重要，运算性质常回忆。

函数的概念：

函数如同子与母，每人只有一个娘。

三个要素离不了，函数关系要理清。

定义域、是灵魂，研究函数莫忘了。

对应关系解析式，求法花样还不少。

观察配凑或换元，基本方法常常用。

假如知道啥类型，待定系数求最好。

对称周期用代入，抽象函数用赋值。

函数值域是傀儡，常用单调来解决。

复合函数虽不讲，却是处处少不了。

其中性质慢慢品，熟练应用有奥妙。

函数的性质：

单调性、区间上，任意变量都满足。

作差变形定符号，简单明了才最好。

奇减则减偶减增，内外函数要看清。

比大小，化同间，实在不行找中介。

奇偶性，看对称，定义千万不要丢。

否定一个全盘翻，奇偶判定要耐心。

解析式、代入求，构造函数来求值。

对称区间单调性，奇同偶反方便用。

基本初等函数：

一二三、反指对，基本函数就几类。

定义域、单调性，函数性质需记清。

指数都过零一点，对数则是过一零，

幂函数，花样多，但是全都过一一。

大增小减很相似，区间不同值相异。

常数大小要比较，画条直线看交点。

a在前y在后，中间夹着爱可丝。

指数药灵药，对数药药灵，幂函数是零要咬。

同大同小一定大，一大一小则变小。

分段组合加复合，函数花样变化多。

化归思想很重要，难化简来生变熟。

函数方程与应用：

零点就是方程根，联系函数画图像。

等号两边俩函数，同一坐标各画图。

画出图像看交点，几个交点几个根。

区间两端若异号，中间有根跑不了。

近似根，二分法，事半功倍真奇妙。

函数模型没几种，审清题意认真算。

集合含参问题

对于高考而言，集合、逻辑、不等式这三个内容并称为我们数学的基本语言以及基本逻辑。所以其实就像语文当中我们要学汉语拼音和文字一样，虽然高考中只会在第一个小题当中出现集合（有些较难的地方卷会作为压轴大题出现），考到的知识点也是我们的基本运算交并补，但是我们不能忽视语言对我们学习数学的重要意义。

在集合相关问题中，我们在月考或者阶段性考试中可能遇到的就是我们集合当中的含参问题，对于集合中的含参问题主要有以下几步：

Step1：集合运算转化成集合关系（勿忘空集）

Step2：找出集合最简等价条件

Step3：画出小车型或者怀抱型

Step4：列式解答，注意端点

·小车型

·怀抱型

【点评】

首先看到题目中的集合运算，想到的一定是转换成集合之间的关系。因为对于数学而言，尤其是高中数学，更加重要的就是集合之间的关系。关系有相等关系和不等关系，关系的存在就能指引着我们去列出式子，进而计算得出结果。

其次，对于这种两边都是闭合的情况我给它命名为小车型。那应该保证的就是左右两边端点都要满足题目情况，端点问题单独考虑。怀抱型是一边闭合的情况。这种情况只需要满足一边成立就好了。端点问题可以直接看出来就直接看出来，不能的话就单独考虑就好了。

值域（最值）问题

值域问题是高考当中的考察重点，虽然不是单独考察，但是会在各个大题中扮演着重要角色。在考试中一般是给定你一个区间，然后让你在这个区间当中进行值域或者最值的计算。对于值域问题有如下的几类重点模型。

①基本初等函数求值域：

对于已知函数类型的值域问题，是比较简单的，我们直接利用函数的图像加单调性解决就可以了。

②复合函数求值域：

Step1：求内层函数定义域

Step2：求内层函数值域

Step3：内层函数值域与外层函数定义域取交集作为新定义域

Step4：用新定义域求外层函数值域

先把复合函数进行拆分，这个拆分的工作是非常重要的。拆解成什么内容呢？其实就是一二反指对幂的形式即可。然后利用上面的四步走，把我们的复合函数值域拆成基本初等函数求值域。

③换元法求值域：

当题目中出现根号、高次、简单型分式我们常采用换元法求值域。

④分式型：

分式型函数我们可以先把分子和分母剥离出来，那他们每一个都是一个相应的多项式。所以分式型主要有两个大的类型：

第一个是分子多项式的最高次幂大于等于分母多项式的最高次幂；

第二个是分子多项式的最高次幂小于分母多项式的最高次幂。

·分离常数法（分子大于等于分母）

【点评】

对于分离常数法，首先要做的就是把分子配凑成分母形式，这个配凑的过程我们课上已经讲过很多遍了，有可能是同学们在这里可能还是有一些困难。

如果还是有困难的，可以利用换元再最初把分母换为一个t。这样的话，反解出x进行带入，就能直接得到答案了，但是仅限我们的分母为一次的（大概率是一次的）。分离常数之后，往往能得到三种形式：

（1）反比例型——利用复合函数求解。

（2）对勾函数

（3）飘带函数。后两种见后面④。

·大除法（分子小于分母）

【点评】

对于分子小于分母的，我们只需要上、下同时除以分母就可以了（前提是分母非零）。这样就转化成了我们可以利用分离变量法解的函数与我们反比例函数复合的复合函数了。

④对勾函数&飘带（双刀）函数：

【点评】

对于高中生而言，虽然双钩函数与双刀函数不是我们的基本初等函数，但是在我们高考当中的小题中也经常出现他们的身影，其他式子化简之后也经常能转换到我们的这两个函数，所以这两个函数大家一定要敏感，同时一定要能从复杂的函数中剥离出他们的身影。

解析式问题

对于解析式问题主要有如下几个模型：

①已知函数类型——待定系数法

②单对应法则——换元法&配凑法

【点评】

对于单对应法则而言，我们说其中配凑法比较难理解，而且同学们也不是特别好理解，所以只用掌握换元法就好，套路比较明显，但是注意换元必换限！

Step1：将括号里面的内容换元为新元

Step2：求新元的取值范围，反解出x

Step3：将原式都化为关于新元的式子

Step4：讲新元改写为x，并写出范围。

③双对应法则——加减消元（方程组）法

【点评】

对于我们双对应法则而言，常规的方法就是利用赋值来构造第二个方程。所以在这里大家一定注意不要理解成为等于。例如：x=a-x一定要理解为把我们的这个a-x统一带入到我们x中，是一种赋值的概念。对于题型主要有两种，一个是分式型（x和1/x），另一种是我们的整式型（x和a-x）。这两种的赋值方法大家应该已经很熟悉了。

单调性的判断及应用

对于单调性而言我们在我们的高一往往用的是我们的定义法来进行判断，等到我们进入到了选修的学习，知识工具上面的增加，到时候就能利用我们的导数来进行判断了。对于定义法而言我们遵循如下四步走就ok了：

Step1：取值（任意；定义域内；有大小）

Step2：做差（做比）（往往高次或者分式进行做比）

Step3：定号（化成因式分解形式进行符号判定）

Step4：下结论

对于小题而言，可能我们还可以利用我们的性质进行判断。

那我们学习了我们的单调性之后有什么应用呢？其实主要是以下三种：

（1）解不等式

（2）求最值

（3）比较大小。

【点评】

单调性在解不等式的用处其实就在于我们的去括号。给定函数值大小关系+单调性，可以知道我们自变量的大小关系。（坑点是我们别忘了要对括号内内容进行定义域限制）。给定自变量大小关系+单调性，能知道我们的函数值大小关系。求最值的功效在上面已经说过了。比较大小也是联系我们的基本初等函数进行判断。

五、奇偶性（对称性）

奇偶性是函数三性中的第二个性质。在考察当中的重要程度其实并不如单调性。对于奇偶性要明确奇偶性的定义和判定。定义的问题注意一点即可，就是奇偶性是整个函数上面的性质，而单调性是某个区间上面的性质。

函数的奇偶性的证明就按照标准步骤操作就绝对不会出现问题（不用去特地背一些奇偶四则运算的性质等）

Step1：求出定义域，判断是否关于原点对称

Step2：求出f（-x）

Step3：判断f（-x）和f（x）的关系

Step4：下定义

而对于奇偶性的应用主要有以下两个方面：已知奇偶性求参数（直接利用关系列式解方程就好）；已知奇偶性求解析式（定号、带入、性质转化）；

将奇偶性进行一般化之后，其实就是函数的对称性，主要有两种对称方式，一种是关于直线对称，另一种是关于点对称。

【点评】

对于函数的对称性，告诉你它具有对称性可以判断出它是关于哪个点对称或者关于哪一条直线对称，是第一个层次。

但是更加重要的是，在考试中他不会给你是对称性，而仅仅是给你一个式子，你看到这个形式就能判断出它具有对称性，这个下意识反应更加是关键！

六、指数（型）函数与对数（型）函数

（1）指数对数运算

其实对于所有的函数都是按照一个逻辑去学习的，概念—运算—函数。对于指数和对数的运算其实都是大家已经烂熟于心的东西了，就不过多进行讲解了。只提醒大家一个换底公式的三个小应用。

【点评】

对于换底公式本身的考察其实并不是直接进行考察的，而是通过换底公式得到的以下三个结论。也正是由于这三个结论使对数运算变得丰富多彩。结论一使分式和整式能进行互化，将运算从整式推广到分式。当题目中出现分数、分式应该想到结论一的相关变形。

结论二能进行对数的乘法。原本的对数公式中只能进行同底对数的加减法，而结论二的出现能使我们推广到四则运算。所以如果题目中出现连乘那就要考虑这个链条法则。

结论三是我们能把底数和真数化成最简公因子的这样一个结论。所以当对数中出现的不是最简公因子，那就要想到这个式子来进行化简。

（2）指数对数函数

在概念、运算讲清楚之后其实就进入到了函数部分。前面已经将函数的性质介绍完，就要利用这些性质来理解基本初等函数。

对于高中的基本初等函数一共有如下几个：

一二反指对幂以及三角函数。之所以把一二反拿出来，就是因为这三个函数在初中就用的非常多，到了高中之后这些函数也是研究的重点，尤其二次函数，是高中最难研究，考点覆盖最多的载体函数。

对于其他函数而言，其实都是在定义域上面只是具有单调性的，所以在研究上面就少了其他非常重要的函数性质，研究起来也就更加简单了。

那其中对于指数函数和对数函数而言，在高中的地位是一个工具函数，考察重点难点不多，主要是作为载体出现。所以首先要做的就是熟记指对函数的图像以及性质。

【点评】

对于指数与对数，只有单调性。所以单调性的三个应用：比较大小；解不等式；求最值也就是应该研究的重点。其中在高考的考察当中比较大小是最常见的。

比较大小的题型一共可以分为三大类：首先就是指对同底数，利用单调性进行比较大小。其次是指数同指数，对数同真数，利用图像法来进行判断。

在进行图像的画法上面要格外注意，方法也强调过很多遍了。最后就是都不相同，这样就要用介值法。利用0或者1去进行介值。特别难的题目可能会用到换底公式等等，但是考察的也已经不多了。

（3）指数型函数&对数型函数

对于高考以及阶段考的考察，综合类的题目往往是把几个函数综合起来结合着性质共同出题。所以利用指数为载体的模型主要有以下四大类，大家要在题目中从指数型函数的外表下剥离出函数内核。而对数函数往往也只是考到最简单的复合函数。

①二次函数模型

【点评】

针对这类型函数可以把指数函数剥离出来，也可以称之为换元。将a的x次方换元成一个新元t（别忘了换元必换限）。那就把我们不是特别熟悉的指数型函数，变换成为了一个熟悉的二次函数。题目也就变成了给定范围二次函数最值问题了。只不过要注意换元之后的范围一定要变化的！

②对勾函数模型&飘带函数模型

【点评】

同样，我们把指数函数剥离出来，就变成了t-1/t。那这个就是飘带函数了。如果这个题目中出现的是加号，那最后就变成对勾函数。针对飘带函数以及对勾函数的性质之前已经介绍过了没，所以在做性质的题目就显得非常得心应手了。

③反比例函数模型

【点评】

对于这样的分式形式，还是把指数函数剥离出来，其实就变成了分式型函数，那之前已经介绍过了这一类的函数利用的是分离常数法，所以把它也进行分离常数之后那就变成了反比例型函数了。

④复合函数

【点评】经过我们的变化，其实都把指数型函数变成了指数函数与其他基本初等函数的复合函数。那针对复合函数解决问题时就要注意以下几点：

（1）定义域：换元之后的定义域其实是内层指数函数的值域，这个换元必换限一定要注意。

（2）值域：对于求值域的问题，其实就是按照上篇章的四步走就没问题了。

（3）单调性：单调性大家要格外注意，这个地方最容易出现坑题，就是很容易忘掉这个换元之后的函数其实内在是一个复合函数。所以一定严格去考虑同增异减才可以。

（4）奇偶性：奇偶性的问题严格按照上面写的四步走来证明，不要想别的歪门邪道，因为复合函数的奇偶性有类似于内偶整体偶的规律，但是一般都会错，所以就用定义又简单又稳妥。

七、零点问题

零点问题主要有两大类问题，一个是零点所在区间，另一个是零点个数问题。

对于零点所在区间问题，就是利用零点存在性定理以及单调函数的零点存在性定理作为基础理论，从而对区间逐渐缩小进行判断（端点函数值异号）。

对于零点个数问题在目前掌握的知识层面主要有一个大的思路就是：零点的个数就是函数等于零的解的个数，从而能转化为方程的根的个数，最后可以转化为图像交点的个数。在我们学习完导数之后，就能把它与单调性和极值点最值点做一个更好地结合了。

【点评】

对于本道题而言，其实就是函数的零点，f（x）=0的解。然而lnx是对数函数，方程是超越方程，我们并不能进行计算和求解。所以把整体拆成两个部分，就变成了左边是二次右边是对数的方程。再进一步就能把它转化为两个熟悉函数的图像交点问题了。

【点评】对于这种出现参数的也是一样的，可以把题目中的a看做y=a，一条平行于x轴的直线。通过直线上下的平移，从而判定我们的交点个数。

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