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每年的秋季学期都要对“知识点汇总系列”进行大的更新，以后每天就分享一下在更新中的一些想法。
一、关于《普通高中数学课程标准》
课程标准中提到，集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式四部分内容共同构成了“主题一 预备知识”，建议课时为18课时。
其中相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式两部分共同构成了不等式这部分内容。
以下是课程标准中的原文。
相等关系与不等关系
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式。
内容包括：等式与不等式的性质、基本不等式。
（1）等式与不等式的性质
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。
（2）基本不等式
掌握基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。
内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。
（1）从函数观点看一元二次方程
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。
（2）从函数观点看一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
人教A版、人教B版、苏教版、湘教版、北师大版、沪教版的新版教材均是以此为蓝本进行编写的。
二、等式与不等式的性质
人教A版必修一：2.1等式性质与不等式性质
（1）基本事实，利用做差法比大小
（2）第24届国际数学家大会的会标：常用不等式
（3）从等式性质到不等式性质
此处采用我自己的整理版，而非教材原图。
不等式的性质的前4条在初中学习中已经学习过，5~7条也是非常符合大家的数学直觉的。
（4）练习题及改编
注：此部分题目在知识点汇总中的顺序与本文的顺序有差别，完全修订好后会在公众号给出知识点汇总的全文，现在还在修订中。
（1）（2）改编如下：
（3）改编如下：
改编如下：其中第二道题目是其他教材的练习题，第三道题目是待定系数法的题目。
A改编如下：
B改编如下：
D改编如下：
改编如下：
人教B版必修一：2.1等式
人教B版的编排有些与众不同，开始花了大量的篇幅讲解等式相关内容，其中大部分学生在初中已经学习过。此部分内容汇编进入了“初高衔接——代数基础”部分，在本文中不赘述了，会有专门的文章。
初中内容以及初中稍微拓展的内容
①平方差公式、完全平方和公式、完全平方差公式；
②十字相乘法分解因式；
③方程的解，方程的解集；
④用配方法解一元二次方程，并推导求根公式，掌握判别式的意义；
⑤换元法解“类一元二次方程”；
⑥一元二次方程根与系数的关系并拓展到平方和、两根差、倒数和；
⑦解二元一次方程组、解三元一次方程组；
⑧分式增根问题
初中未学过的内容但高中不直接讲授的内容
①恒等式概念：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。
②立方和公式、立方差公式、完全立方和公式、完全立方和公式。
③解含参数的一元一次方程
④解二元二次方程组；
⑤解高次方程
⑥解其它形式的方程
人教B版必修一：2.2不等式（2.2.1&2.2.2）
与人教A版重合的内容不再赘述。
（1）三个证明方法：综合法、反证法、分析法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法。
首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立，这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法。
分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，实质是不断寻找结论成立的充分条件。
（2）一个条件问题补充
（3）解一元一次不等式与一元一次不等式组（初中内容）
（4）解绝对值不等式（见衔接部分）
苏教版3.1不等式的基本性质
湘教版2.1相等关系与不等关系
北师大1.3.1不等式的性质
无需要特别说明的内容。
沪教版2.1等式与不等式的性质
沪教版的编写与人教B版有类似之处，此处仅补充前面未提到的内容。
（1）含参数的一次方程与方程组
后者其他教材均为涉及，也未涉及过类似的题目，作为了解即可。
（2）比例变换式
（3）条件问题（一）
（4）排序不等式
（5）条件问题（二）
此问题是一个很常见的因式分解问题。
剩余部分在后面的文章中进行更新。 |
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