[人教版]小学数学教材解读系列1

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[人教版]小学数学教材解读系列1五年级上册数与代数部分

01简易方程（1）

从新版教材对“方程”定义的修改谈方程的教学

——小学数学教学里“方程”概念的表述

我国的小学数学教科书，在“简易方程”单元的开头，大都醒目地写着“含有未知数的等式，称为方程”。“方程”二字用红色大字标出，意即这是方程的定义（如图1-1）。紧接着便是一组“做一做”，问哪些式子是方程：

35＋65＋100x－14＞72

x÷24          5x＋32＝47

28＜15＋14 6（a＋2）＝42

这样的编排看上去似乎逻辑严谨，便于操作，因而代代沿袭，成了学校数学里雷打不动的经典。不知有多少学生在课堂上随老师齐声朗读这个定义。第二天的数学课上，教师会提问“什么是方程”，学生就得背出来，背不出的就得站着，等会背的学生背出来，大家才能一起坐下。

图1-1

可是，这个所谓的定义重要吗？它究竟是不是一个严谨的逻辑定义呢？值不值得学生背诵呢？

一、从对比中看“方程”概念的核心价值

早在1993年，西南师范大学著名数学家陈重穆教授等就指出：“含有未知数的等式叫方程”这样的定义要淡化，不要记，无须背，更不要考。关键是要理解方程思想的本质以及它的价值和意义。

为什么这么说？理由很多。这个定义和以后的练习，最明显的漏洞就是把未知数替换为字母，成了“含有字母的等式，称为方程”。但是字母未必都表示未知数。“含有字母的等式”种类很多，同样是含有字母的等式，未必都是方程。例如：

·字母泛指任意数。例如，描述加法交换律的式子a＋b＝b＋a，也是含有字母的等式，但并不是方程。

·字母表示某类数。例如，三角形面积计算公式

，其中a是底边长度，h是高。这也和方程没有关系。

·字母表示变量。例如，函数也是含有字母的等式：

，

等。它们虽然可以看作某曲线的方程，但一旦作为函数进行研究，在意义上与方程是不同的。

这就是说，在教科书上写“方程是含有字母的一种等式”是可以的，反过来，认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”，不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当作基本出发点来判断是非，硬要人们承认x＝1是方程之类，恐怕是没有意义的自我折腾，不足为训。

方程概念的核心是要“求”未知数。作为一种数学模型的方程是为了让人去“解”的。谈方程，必须说到“求出未知数”。在教学上，背诵“含有未知数的等式叫方程”的定义没有必要。事实上，没有人会因为没有记住这一定义就不会做数学题的。关肇直先生说过：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道未知量与已知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量来，这就是解方程的问题。”

陈省身先生说过，数学有“好的数学”和“不大好的数学”之分。在“好的数学”一类里，他所举的例子就是方程。方程的内涵不断发展，至今没有穷尽。这里的“方程”二字，自然就方程的思想方法而言，并非专指“含有未知数的等式”。

因此，我们替代性地有以下的方程的定义：“方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”这样的定义，把方程的核心价值提出来了，即为了寻求未知数；接着告诉我们，方程乃是一种关系，其特征是“等式”，这种等式关系把未知数和已知数联系起来了，于是，人们借助这层关系找到了需要的未知数。

尽管旧的习惯是不容易被改变的，况且教材的编写既需要持慎重的态度，也需要极大的勇气。人教社教材编者在2022版教材中对“方程”的定义作出了重大调整，修改为“根据等量关系列出的含有未知数的等式叫方程”（如图1-2）。这样做既保留了过去教材中对方程进行定义时的关键语句，保证了前后的一致性和逻辑上的关联，同时又强调了等量关系是方程产生的重要前提或依据，将学习的重点引向对等量关系的发现和求未知数的方法的探索上，从而凸显方程概念的本质特征。

图1-2

二、代数的本质在于还原和对消

代数的本质并非如“代数，代数，就是文字代表数”那样简单。它的实质在于等式变换过程中的还原和对消。简单的方程及代数思想逐步渗透在小学各个阶段中，对于没有学过代数式的小学生来说，未知数的引入是一个难点，需要用鲜明的例题让学生产生认同感。只有让他们在思想上感受到理性精神的震撼，他们才会自觉地运用方程来解决问题，欣赏方程思想所带来的理解上的便捷。

用方程或算术方法解题的思维路线往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为对岸的一块宝石，那么算术方法好像摸着石头过河，从我们知道的岸边开始，一步一步摸索着接近对岸的未知目标；而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，拴住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这根绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。

由此可知，数学的思维方法并不是从天上掉下来的，而是很朴素的思想方法，可以植根于日常生活中的人文意境。如果在课堂教学中把这层窗户纸捅破，岂不是将学术形态的数学还原为教育形态，让学生觉得明白易懂、平易近人了？这样讲，就把方程说“活”了。能把一个形式化的数学概念说“白”了，这是一种数学能力。

三、增添一个视角——方程教学中融入中国数学史和数学文化

华东师范大学汪晓勤教授在HPM的研究中说到，方程两个字西方是没有的，西方只有“等式”，英文是equation。方程两个字来源于《九章算术》中的解线性方程组。《九章算术》的第八章就名曰“方程”，首先出现的是三元一次方程组（“上禾”“中禾”“下禾”）的消元解法。文字表述的是线性方程组各项系数（今称为增广矩阵）的变化过程。由于把算筹摆成系数方阵形式加以操作，“（立立）列为行，故谓之方程”。因此，方程中“方”的意思是说，把线性方程组的系数排成一个方阵，“程”的意思是按照一定的程式进行运算，最后把未知数都找出来。所以，方程的意义是系数按照一定的程式进行运算的过程，它并不该被狭隘地理解为“含有未知数的等式”。方程本来就是我们中国人创立的一个概念，应该有基于我们自身文化的理解。