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这是2021年山东青岛中考数学的压轴题，是一道动点问题。一题有四问，比较难的是中间两问，第一、四问都非常简单，特别是第四问。很少见到压轴题最后一问这么简单的，所以说它是一道奇葩的中考数学压轴题。题目是这样的：
已知：如图，在矩形ABCD和等腰△ADE中，AB=8cm，AD=AE=6cm，∠DAE=90度.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s. 过点Q作QM//BE，交AD于点H，交DE于点M，过点Q作QN//BC，交CD于点N. 分别连接PQ，PM，设运动时间为t(s)(0
(1)当PQ⊥BD时，求t的值；
(2)设五边形PMDNQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；
(3)当PQ=PM时，求t的值；
(4)若PM与AD相交于点W，分别连接QW和EW.在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠AWE=∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
分析：(1)先利用勾股定理求BD的长，BP，DQ，BQ都可以用含t的式子表示。当PQ和BD互相垂直时，三角形BPQ的三角形BDA构成“倒A型”相似三角形。列边的比例关系，就可以得到一个关于t的方程，从而求得t值。
(2)把五边形看作三角形DNQ，三角形DMQ和三角形MPQ(或四边形DMPQ)，三个三角形组成的。其中三角形DNQ和三角形BCD相似，利用相似的面积比是相似比的平方，可以得到三角形DNQ的面积关于t的表达式；三角形DMQ和三角形MPQ有公共底边QM，且它们在QM上的高的和等于AD，因此可以得到四边形DMPQ的面积是QM与AD的积的二分之一。
将三个三角形的面积加起来，就可以得到S关于t的函数。这其中有一些边要转化为关于t的表达式，而且在下面两道小题中，还会运用到。
(3)突破口是点P在QM的垂直平分线上。作出这条垂直平分线，垂足为F，则MF是MQ的一半，MH又可以表示出来，FH就可以表示出来。又FH=PA，PA又是AB与BP的差，这就可以得到关于t的表达式，从而解得t值。
(4)突破点是：当角AWE等于角QWD时，它们是对顶角，所以Q，W，E三点共线。从而有两对“X型”的相似三角形，从它们之间边的比例关系，可以推出QH/AE=HM/AP，问题就可以解决了。您说是不是非常简单啊。
下面组织解题过程：
解：(1)BD=根号(AB^2+AD^2)=10cm;
BP=DQ=tcm, BQ=(10-t)cm;
当PQ⊥BD时, △BPQ∽△BDA，
∴BP/BD=BQ/BA,
即t/10=(10-t)/8,
解得：t=50/9s.
(2)S△DNQ/S△BCD=DQ^2/BD^2=t^2/100;
S△DNQ=t^2·S△BCD /100=6×8t^2/200=6t^2/25(cm^2)
QM/BE=DQ/BD=t/10，
QM=t·BE/10=t(AB+AE)/10=7t/5cm,
S△DMQ+S△MPQ=AD·QM/2=21t/5cm^2,
S=S△DNQ+S△DMQ+S△MPQ=6t^2/25+21t/5 (0
(3)QN/BC=DQ/BD=t/10;
DH=QN=t·BC/10=3t/5cm.
过P作PF⊥QM，当PQ=PM时，FM=MQ/2=7t/10cm.
在等腰△DHM中，HM=DH=3t/5cm.
FH=MF-HM=t/10cm.
又FH=PA=AB-BP=8-t(cm).
∴t/10=8-t, 解得t=80/11s.
解：(4)当∠AWE=∠QWD时，Q，W，E三点共线；
由△QHW∽△EAW，有QH/EA=HW/AW,
由△MHW∽△PAW，有HW/AP=HW/AW,
∴QH/EA=HM/AP,即(QM-HM)/AE=HM/AP,
(7t/5-3t/5)/6=(3t/5)/(8-t),解得t=7/2s.
这道题在中考数学压轴题中，可以说是相当简单的。对考生来说，是相当友好的，带给了考生满满的善意！您怎么看呢？ |
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