权威解读：2016年北京中考数学卷（内附真题）

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今天上午10点半，数学科目考试结束。“首都教育”在中考每科考试结束后，第一时间组织教科研及教育教学一线专家分析中考试题，解析命题思路。帮助考生和家长及时了解有关今年中考考题的特点和相关信息。速速围观！

数学试题综述

2016年北京市中考数学试题的命制依据教育部制定的《义务教育数学课程标准（2011年版）》和北京教育考试院编写的《2016年北京市高级中等学学校招生考试考试说明》。

2016年的中考数学试题将学科理念与时代发展需求相融合，通过对学科素养的考查，体现立德树人、育人为本的教育目标和社会发展对人才培养的需求.试卷的整体设计，以“四基”、“核心概念”、“四能”、为主线，注重考查学生的思维，将学生在学校、家庭和社会所学融入其中，贴近学生的实际与生活。

一、“四基”的考查

1.基础知识的考查

对于基础知识的考查，不仅仅局限于对知识应用的考查，还将知识的形成过程、知识之间的联系作为考查的一部分. 如第12题（代数式几何意义）.认识不同的代数式表示方法之间的关系：ma+mb+mc=m(a+b+c)表示提公因式，m(a+b+c)=ma+mb+mc表示乘法分配率，(ma+mb)+mc=ma+(mb+mc)表示加法结合律，……，进一步理解整式乘法、因式分解、乘法关于加法的分配率等知识的内在联系.又如第13题（频率估计概率）.虽然学生对概率刻画随机事件发生可能性的大小有了一定的体会，但是对概率意义的理解容易停留在“比值”层面，而对其反映的随机性的内涵认识不足.让学生经历大量重复试验的过程，在具体的试验过程中，发现频率呈现出一定的稳定性和规律性，对频率与概率之间的关系进行体会，估计事件发生的概率，进一步理解概率的意义.

2.基本技能的考查

对于基本技能的考查，既考查了对于数学工具的直接使用，又考查利用数学共解决问题过程当中所蕴含的数学原理.例如第1题（度量∠AOB的大小）.量角器是数学基本工具之一，度量角也是基本技能操作之一，但在操作之余，还需要了解角度单位的产生过程，理解量角器的构成要件和工作原理，为在使用量角器时，更好掌握操作方法提供帮助.又如第16题（尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线）.考查的落脚点不是在尺规作图的操作层面，而是落脚于“为什么这么作”，考查的是技能操作里面蕴含的数学原理.

3.基本思想与基本活动经验的考查

第26题（根据函数图、表反映的规律探究函数的性质）体现了对抽象、模型两大数学基本思想和基本数学活动经验的考查.函数的学习不能只注重背记定义而不关注它的实质，要理解定义的真正含义，即函数是反映运动变化与联系对应的数学模型.从另一个角度讲，在现实生活中，很多客观事物必须从运动变化的角度进行数量化研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应关系，而刻画这种关系的数学模型就是函数.通过函数的学习，学生不断地形成、积累对函数的正确认识，即认识函数可以有不同的表示方法，研究函数需要研究自变量的取值范围、对应关系和因变量取值，通过图象反映的规律研究函数的性质，也就是说，学生积累的对函数的最根本的认识就是函数是刻画同一变化过程中两个变量之间的对应关系的模型.

2016年的第26题是对2015年第26题（研究函数的基本过程）的继承与发展.学生根据学习函数所积累的经验，利用所给图、表反映出的y与x的对应关系，画出“自己的”函数图象.进一步地，对“自己的”函数进行性质的分析与研究.

二、核心概念的考查

核心概念是数学课程的重要支撑.例如第2题（对神舟飞船飞行速度进行科学记数），考查学生的数感，体现在对数量关系的感悟.

又如第10题（阶梯水价机制制定推断）、第22题（小区居民燃气用量调查）、第24题（北京市文化创意产业发展预测）.通过设置学生熟悉的生活背景，考查学生的数据分析观念.在当今信息社会里，数据时一种重要的信息载体，统计所提供的“运用数据进行推断”的思考方法以及从随机性中寻找规律的归纳思想是现代社会一种普遍使用并且强有力的思维方式.重视数据的使用和能够对数据进行适当的处理，已经成为信息时代每一位公民必备的素质.其中，数据分析是统计的核心.数据分析观念包括三个方面的内容：（1）了解在现实生活中有许多问题需要先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息.（2）从大量的数据中提取有效信息，作出判断，进行决策.（3）根据问题的实际背景，选择合适的统计方法，解决实际问题.

第22题（小区居民燃气用量调查）通过学生在社会大课堂中所学，设计了贴近学生生活实际的一个调查作业：调查你所住小区居民家庭5月份用气量情况.试题通过展现收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计调查的基本过程，体现抽样调查的必要性.在进行抽样调查时，必须明确调查目的，根据对调查背景的分析，抽样获取“好”的数据（所谓“好”的数据是指那些能够更加客观反映实际背景的数据），使得选取的样本必须具备代表性，不偏离调查的目的，最后根据调查的样本推断出总体情况.题目设计的目的是让学生在学习统计的过程中体验收集、整理、描述和分析数据的全过程，有意识的获取一些数据信息.因为随着学生年龄的增长，学生走向社会之后，会遇到各种各样的实际问题，其中“调查类”问题会是学生遇到的最多的实际问题之一，这种让学生感受获取真实数据的过程，分析调查目的的原因、选取调查的对象、设计调查的问题、应从哪些方面设计调查问题等，都是培养学生的应用意识，让学生用统计的眼光解决自己生活的实际问题.

第10题（阶梯水价机制制定推断）从频数直方图给出的大量的数据中，提取有效的信息，结合分析数据的统计量（平均数、中位数）的统计意义，推断总体情况，作出推断.题目设计的目的是让学生理解分析数据的统计量（平均数、中位数、众数、方差）的统计意义，如反映了数据哪些方面的特征，各自的特点是什么，如何利用它们获取更多的信息等，将统计的概念、方法和原理统一到数据处理的活动过程中，让学生更好的体会统计的思想，培养学生的统计观念.第24题（北京市文化创意产业发展情况）根据画出的折线图预测2016年北京市文创意产业的发展态势.

从教学的角度来说，通过三道试题的设置，引导教学中对于统计学习方式的转变，不能将统计的学习处理成单纯数字计算和绘图技能.

三、“四能”的考查

“四能”是指发现、提出问题的能力和分析、解决问题的能力.其中发现和提出问题是培养创新意识的基础，独立思考、学会思考是创新的核心.

第28题改变了以往试题的呈现形式，进行了一定的创新，将学生课堂研究问题的全过程原汁原味的呈现在试卷当中：发现问题（PA，PM的数量关系）、提出问题（PA=PM），通过交流与讨论，形成了解决问题的三种不同的思路，让学生进行独立思考，发现可以从不同的角度进行分析，并最终选择一种方法解决问题.

第28题试图发挥积极的教学导向，学生需要根据已知条件，体验解决问题方法的多样性，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，考查学生思维的灵活性和多样性.同时，抛开题目本身来说，学生在平常的学习过程当中，不仅需要注重思维的灵活性与多样性，同时还需要注重思维的深刻性.也就是说，在追求解法多样性的过程当中，一定要善于总结哪个思维出发点解决问题是最优的，既要保持思维的灵活性也要保持思维的深刻性，这样才能不断地提升自身的思辨能力.

四、注重思维的考查

2016年的试题体现出了“多思少算”的特点.如第14题（利用影长测灯高）.题目将测量灯高的实际问题抽象成简单的数学模型，学生通过简单的计算推理能够发现所抽象出的三角形是等腰直角三角形，进而问题得解.另外，2016年的试题加大了对开放性试题和选择性试题的考查.例如上面阐述的第12题（代数式几何意义）、第16题（尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线）、第26题（根据函数图、表反映的规律探究函数的性质）、第24题（北京市文化创意产业发展预测）、第29题（问题思路选择）都是对学生思维的灵活性与多样性的考查，考查学生的思辨能力.

五、将中华古代优秀数学思想、社会主义核心价值观、数学美、九年积淀融为一体

第15题（澳门百子回归图）是以我国汉代的“九宫图”为背景设计的试题，它的发展经历了几个重要阶段：（1）在中国古代著作《周易》的数表中就产生了古老的组合数学思想的萌芽.（2）汉代的“九宫图”使用九个数字组成的一个方阵，它的各行各列和对角线上的数字之和都是15，这是最早的纵横图，后世称之为“洛书”.纵横图设计数字组合的各种问题，其中已具有初步的组合数学的思想.（3）杨辉的《续古摘奇算法》中收集了20多个纵横图，包括n=3，4，5，…，10的各阶幻方（方形纵横图，即将1到n2中的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行每列及两条主对角线n个数的和）.澳门回归纪念碑就是一副十阶幻方，中央四数连读即“1999·12·20”，表示澳门回归日.百子回归碑是一部百年的澳门简史，可查阅四百年来导致澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等.如“88”年中葡两国互换关于澳门问题的《联合声明》批准书，澳门陆地面积“23·50”平方公里等.在求每行、每列、每条对角线之和时，并不是计算1-100简简单单数字之和，而是体现数学之美，体现了九年的积累（运算法则）：1+2+3+…+100=（1+99）+(2+98)+ …（49+51）+50=5050.

2016年中考数学卷特点分析

2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷的设计遵循《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《北京市高级中等学校招生考试考试说明》的要求和阐述，紧密联系北京市初中数学教学实际，与2015年相比，保持了试卷结构和题目类型的稳定。试题围绕初中数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验进行设计，突出数学基础能力和关键素养的考查。

试卷内容与教学中的各部分内容比例相适宜，知识覆盖全面，考查重点突出。试题的难度分布、分数设置、题型选择合理，试题的表述形式简洁、规范，试题的图文准确并相互匹配。尝试进行科际之间的融合，利用中国古代的甲骨文背景考察平面几何中的对称，反映了新课程理念的发展和演变；联系学生生活实际类的试题背景材料真实、亲切，易于理解和解决，既体现了立德树人的教育方针，渗透了爱祖国、敢实践的价值观，又体现了数学的应用价值。数学试卷客观地反映了北京考生的实际情况，是一份科学性过硬的试卷。

一、突出考察数学的核心概念与“四基”的形成

注重考查学生初中学习阶段所需要掌握的数学核心概念、基础知识、基本技能、基本思想方法和基本的数学活动经验，对数学基础知识的覆盖面宽泛，试题对知识以及知识间的结构性与联系性有很好的体现，有一定的宽度与开放性，具有多思少算的特征。

代数内容突出了基本的运算方法与运算技能，如第6题、17题、18题。在由实际问题转化为数学问题选择相应的数学知识进行问题解决方面有一些体现，如第22题、24题。在操作探索方面，在2015年有关试题的基础上有了新的变化，如第26题，观察变量间的对应变化，估测自变量对应的函数值。利用函数图象探索函数性质。

26题

再如第16题，考查尺规作图的作图依据，延续了2015年同类试题的试题立意。

几何内容的考查基本保持与往年相近，试题变化平稳，几何内容重点考查了学生的基本技能，考查了知识的整体性和相互之间的联系，考查学生逻辑推理的能力，如第19题考查几何中的简单推理，第23题在多边形背景下考查几何的基本计算与证明，第25题是圆中证明和计算，同时对几何问题的解题思路进行了考查，第28题考查几何问题的研究、探索的策略与方法。

23题

二、以数学思维能力为核心，体现数学素养

对思维能力的考查是中考试题的重要内容。在注重数学内在联系和知识综合的同时，从整体结构和试题背景立意，关注社会热点话题，以数学应用、数学推理、数学交流为核心，全面考查各种能力，从多角度、多层次对数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识进行考查。

例如第2题和第10题，设计背景紧贴当前热点，立意从人们日常生活关注的问题切入，既与时代发展相融合，丰富了学生的数感，又考查和展示了学生数据分析观念和应用意识等数学素养。

2题、10题

从学生的基本生活经验出发，主要体现学生“宽”的视野，不同学生思考问题的出发点不一样，想问题的方式也不一样，重点考查学生从解决问题的不同思路上让学生思考，引发思维的碰撞，突出考查了学生思维的灵活性与广泛性，这是培养学生应用意识和创新意识的基础。如第12题。

12题

在综合题目的设计上，注重了思维能力考查。增加了题目的梯度，减轻了学生的负担。如第28题。

28题

消除了学生以往“入手难”的恐惧心理，让学生容易进行初步分析，心态平和、思路开阔；既考查了基础，又关注了学生的能力培养，对数学教学起到引导作用，引导复习活动回归基础、回归几何直观、回归能力培养。

考察数学应用的题目共有9道，考察数学推理的题目有5道，考察数学交流的题目有3道。

三、试题结构有所调整，形式更加新颖

试题布局不拘泥于往年的形式，填空题、解答题一改以往答案唯一的格局，呈现了一定的开放性，题目背景虽然常见，但最终答案需要表达出学生自己的观点和想法，题目表现形式不落俗套，对学生提出了较高的要求。

将以往考查整体代入的试题从去年第18题的位置调整到了第6题的位置；

第8题第10题由以前考查函数的图象和变化趋势换成了从统计图表中获取数据；

概率的考查从求简单随机事件换成了用频率估计概率；

列方程或方程组解应用题的试题换成了考查统计的过程；

24题第（2）根据绘制的折线图中提出的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值，此题的答案开放，要求写出预估的理由，但此理由必须支持前面的答案。

24题

第25题的第（2）问由原来的通过逻辑推理计算得到结果变成了要求学生写出计算的思路，体现了少算多思，重视学生思维品质的考查；

25题

第28题的考查从传统的几何综合题的推理证明换成了在问题情境中，发现问题，并进行猜想，给出多种证明的思路，最后由学生完成证明过程。

四、多思考，少计算，关注对数学思维能力的考查

试题关注到对于学生数学思维能力的考查，避免了出现技巧性很强的高难度计算题，着眼于让学生更好的理解数学知识的本质，关注知识间的相互关系。在解答中强调对于学生思维过程的考查，不能盲目的套用解题模板，而要真正理解题目的条件和要求。

如第16题，给出了“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，让学生回答作图的依据。这就要求学生不仅要记住尺规作图的具体步骤，具备良好的动手操作能力，更重要的是知道作图的原理，具备严格的推理能力。

16题

如第25题第二问，并没有给出具体数值条件让学生去计算求解，仅要求学生写出求四边形面积的思路，关注对于学生思维能力的考查，让学生更好地理解数学知识的本质，体会数学的价值。

五、重视数学在生产生活中的应用

试卷注重数学知识与学生的生活空间的联系，一共有九道试题考查了数学知识的应用。约占试题总数的三分之一，这些试题让学生在解题的同时，体会数学知识的应用，通过试题的解答，感受数学除了抽象的运算与推理，还有其广泛的应用。

如第2题，使用科学计数法记录神舟十号的飞行速度。

如第7题，通过观察甲骨文，判断图形的轴对称，在解题过程中，渗透数学文化。

第8题,通过阅读以及对图形反映的信息进行分析，完成试题的解答。

第10题,以城市居民水价的计算法则，通过直方图读取相关问题，回答问题。

第13题，通过绿化中的数据，让学生感受用频率估计概率的方法。

第14题，通过身影的高度，来估计路灯的高度。

14题

第15题，以澳门回归为背景，介绍百子回归图。

15题

第22题，调查作业，通过问题背景以及相关图表，让学生判断如何用样本的数字特征估计总体的数字特征。

第24题，体现北京的政治、文化、国际交往的中心。

总体看，这是一份具有北京特色的优秀试卷，有利于高级中等学校选拔人才，对引领初中数学教学改革方面具有良好的导向作用。

点评专家

康杰 中学高级 北京教育科学研究院基础教育教学研究中心

丁明怡 中学高级 北京教育科学研究院基础教育教学研究中心

陈俊 中学高级 北京市东城区教师研修中心

王玉起 中学高级 北京市朝阳区教育研究中心

金宝铮 研究员 北京师范大学第二附属中学

罗海亮 中学高级 密云区巨各庄中学