好书推荐 | 一套适合高中生自学的数学思维书

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最近，由机械工业出版社翻译引进了一套名叫《数学思维》的书，原书可能过于庞大，在中文版出版的时候分成了三册：《数学思维1：逻辑与数》、《数学思维2：代数与几何》、《数学思维3：概率、统计与图论》。原书也已经出到了第7版，光看这版数，就知道这是一本长销书。一收到书，我就迫不及待地翻看了起来。看完之后的第一评价，就是这是一套非常适合高中生自学的数学思维书，尤其适合高中数学基础相对较弱的学生使用。

从内容来看，第2章集合论，第3章逻辑，第6章代数：等式与不等式，第7章代数：图像、函数与线性方程组，第11章计数法与概率论，第12章统计学等都是高中数学要掌握的内容。

第1章解决问题与批判性思维中的“归纳推理和演绎推理”虽然不是高中数学教材中没有的内容，但我觉得这是目前高中数学急需要补上的内容。当然还有些内容，比如第4章数字表示法及计算，其中介绍了位值系统是当前我国中小学数学教育都较缺乏的内容，很多学生，即使是高中生对我们最熟悉的计数系统缺乏了解。第5章数论与实数系统是初中的内容，其中也涉及到高中数列的内容。第10章是几何主要是平面几何，也涉及立方体体积和表面积的计算等，还补充了些非欧几何的拓展内容。还有一些是应用拓展的内容，比如第8章个人理财，第13章选举与分配，第14章图论。

不过这套书没有涉及高中数学向量、三角函数内容，以及立体几何的主要内容。

这套书内容丰富，文字表述通俗易懂，实例讲解详细，图例直观形象。仅举一例，书中连求函数值这种简单的问题都写的非常详细。

而在我们的高中数学教材中（以北师大版为例）是没有函数值的例题进行示范的，仅在练习题中出现。仅此一例就说明今天咱们介绍的这套书是站在学生的角度编写的保姆级自学用书，这对基础相对薄弱的学生来说是非常友好的。

想要更加详细了解书中内容的朋友可以看一下下面的相关信息，包括译者序和前言。

基本信息：

书名：《数学思维1：逻辑与数》+《数学思维2：代数与几何》+《数学思维3：概率、统计与图论》套装3册

定价：287 元

作者：[美]罗伯特·布利策(Robert Blitzer)

译者：汪雄飞汪荣贵

出版社：机械工业出版社

出版日期：2024年7月

编辑推荐：

本书是一本数学普及读物，想解决数学学习者的两大问题：学不懂数学的问题和用不上数学的问题。针对读者面临的这两个问题，书中用了大量生活中的案例系统性地介绍了初等数学思维，这在国内比较少见。因此，本书适合初高中生、人文社科类的大学生以及任何对数学感兴趣的读者。

图书简介：

本书是一本非数学专业主要是文科及艺术类专业的数学教材，讲述方式活泼，案例贴近生活，读者可以在轻松学习中体会数学乐趣和意义。全书分为三大部分：归纳和演绎、逻辑和数；代数和几何；概率统计和图论。

作者利用他在数学和行为科学方面的独特背景，通过流行文化和最新资料将数学与生活联系起来，生动地展示了数学在现实生活中的广泛应用，以此说明现实世界是深刻的数学世界。

可读性好。从最简单、最基本的数学知识开始介绍，循序渐进，通过将来自不同领域的数学知识进行巧妙安排和设计，使得它们在逻辑上层层展开、环环相扣，形成一套易于理解的知识体系。

趣味性强。以实际问题求解为导向并结合有趣的历史资料进行介绍，很好地展示了数学知识的实用性和数学存在的普遍性，通过实用性和趣味性巧妙化解了青少年以及初学者数学学习的困难。

作者简介：

罗伯特·布利策（Robert Blitzer） 在纽约城市学院（City College of New York）获得数学和心理学双学士学位，辅修英语文学，获得文学学士学位。他不同寻常的学术兴趣使他获得了迈阿密大学的数学硕士学位和诺瓦大学的行为科学博士学位。布利策十分擅长数学教学，在迈阿密戴德学院从事各种数学课程教学近30年。他获得多个教学奖，包括社区学院创新联盟颁发的“年度创新者”奖。

目录：

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《数学思维1》

译者序

前言

第1章解决问题与批判性思维 1

1.1归纳推理与演绎推理 2

1.2估算、图表与数学模型 12

1.3解决问题 26

第2章集合论 36

2.1基本的集合概念 37

2.2子集 49

2.3韦恩图和集合运算 58

2.4三个集合的集合运算与韦恩图 70

2.5调查问题 79

第3章逻辑 87

3.1命题、否定与量化命题 88

3.2复合命题和联结词 94

3.3非运算、且运算和或运算的真值表 106

3.4条件命题和双重条件命题的真值表 121

3.5等价命题与条件命题的变体 131

3.6条件命题的否定与德·摩根律 141

3.7论证与真值表 147

3.8论证与欧拉图 160

第４章数字表示法及计算 168

4.1印度-阿拉伯计数系统和早期位值系统 169

4.2位值系统的基数 176

4.3位值系统中的计算 184

4.4回顾早期的计数系统 192

第5章数论与实数系统 199

5.1数论：质数与合数 200

5.2整数及其运算 210

5.3有理数 222

5.4无理数 239

5.5实数及其性质 248

5.6指数与科学计数法 257

5.7算术数列与几何数列 267

部分练习答案 276

《数学思维2》

第6章代数：等式与不等式 1

６.1代数表达式和公式 2

６.2一元线性方程和比例 10

６.3线性方程的应用 26

６.4一元线性不等式 36

６.5二次方程 45

第7章代数：图像、函数与线性方程组 62

7.1图像与函数 63

7.2线性函数及其图像 76

7.3二元线性方程组 89

7.4二元线性不等式 104

7.5线性规划 113

7.6建立数据的模型：指数、对数与二次函数 118

第8章个人理财 134

8.1百分数、销售税与折扣 135

8.2所得税 143

8.3单利 156

8.4复利 161

8.5年金、储蓄手段和投资 170

8.6汽车 185

8.7住房的花费 194

8.8信用卡 203

第9章测量 212

9.1长度测量与公制 213

9.2面积和体积测量 222

9.3重量和温度测量 231

第10章几何 240

10.1点、线、面和角 241

10.2三角形 248

10.3多边形、周长以及棋盘花纹 257

10.4面积与周长 264

10.5体积与表面积 273

10.6直角三角形的三角学 280

10.7欧几里得几何之外 286

部分练习答案 294

《数学思维3》

第11章计数法与概率论 1

11.1基本计数原理 2

11.2排列 ７

11.3组合 15

11.4概率的基本原理 21

11.5基本计数原理、排列和组合的概率 29

11.6“非”和“或”事件以及胜算 34

11.7“且”事件以及条件概率 46

11.8期望值 58

第12章统计学 66

12.1抽样、频数分布和图像 67

12.2集中趋势的度量方法 78

12.3离散程度的度量 94

12.4正态分布 101

12.5正态分布的问题求解 114

12.6散点图、相关性和回归线 120

第13章选举与分配 130

13.1选举方法 131

13.2选举方法的缺陷 143

13.3分配方法 153

13.4分配方法的缺陷 166

第14章图论 176

14.1图、路径和环线 177

14.2欧拉路径和欧拉环线 186

14.3汉密尔顿路径和汉密尔顿环线 194

14.4树状图 202

部分练习答案 211

译者序：

知识和数学思维的重要性是毋庸置疑的。长期以来，国内初等数学的教学侧重于数学知识体 系的讲授，对数学思维能力的培养则重视不够。所谓数学思维能力，就是用数学进行思考的能 力，主要包括逻辑思维能力、抽象思维能力、计算思维能力、空间思维能力等，以及这些思维 能力的组合。数学思维能力的形成并不是一件容易的事情，通常需要较长时间的系统学习和训 练。目前，国内尚比较缺乏系统性介绍和讨论初等数学思维的课程和相关教材，而机械工业出 版社引进的（《数学思维（第 7 版）》）（Thinking Mathematically, Seventh Gdition）可以很好地弥 补这方面的不足。

原书《数学思维（第 7 版）》是一本书，从青少年的视角，以日常生活中大量生动有趣的 实际问题求解为导向，使用通俗诙谐的语言介绍和讨论了“逻辑与数”“代数与几何，概率、 统计与图论”等多个数学领域的基本知识，并将这些问题求解过程作为培养学生数学思维的训 练过程，这种方式符合青少年的学习心理特征和学习习惯，能够较好地激发学生的数学学习 兴趣，唤醒学生的数学潜能，培养学生的数学思维。但是，在翻译的过程中，我们感觉到这部 鸿篇巨著过于庞大，对于任何想要了解数学的青少年或者其他初学者来说，都会是一种无形压力。于是，在中文版的出版中，根据知识体系的自洽性和相互依赖关系将原书分成相对独立的 三本书，形成一套：《数学思维 1 ：逻辑与数（原书第 7 版）》《数学思维 2 ：代数与几何（原书 第 7 版）》《数学思维 3 ：概率、统计与图论（原书第 7 版）》。

《数学思维 1》专注于数学思维的根本——逻辑与数，是相对较为基础的一部分，包括原 书的第 1 ～ 5 章：解决问题与批判性思维，集合论，逻辑，数字表示法及计算，数论与实数系 统。《数学思维 2》聚焦数学思维的核心，也是当前初等数学的核心——代数与几何，包括原书IV 的第 6 ～ 10 章：代数（等式与不等式），代数（图像、函数与线性方程组），个人理财，测量， 几何。《数学思维 3》关注现代数学中更贴合实际应用的领域——概率、统计与图论，阐述了从 事科学研究和技术开发的几种工具，包括原书的第 11 ～ 14 章：计数法与概率论，统计学，投票与分配，图论。这三本书的学习没有必然的先后顺序，读者完全可以根据自己的兴趣进行选 择性学习，但是，如果按照章节的先后顺序进行学习，更能理解数学思维从古到今的演进，也 更能达到训练数学思维的效果。具体来说，其基本特点主要表现在如下三个方面：

首先，系统性强。三本书分别基于不同的知识领域介绍和讨论相关的初等数学思维，所涉 及的数学内容非常广，几乎涵盖了初等数学的所有分支。只要完成这三本书的学习，就可以较 好地掌握几乎所有的初等数学基本知识以及相应的逻辑、抽象、计算、空间等数学思维能力。

其次，可读性好。原书是一本比较经典的数学思维教材，从最简单、最基本的数学知识开 始介绍，循序渐进，通过将来自不同领域的数学知识进行巧妙安排和设计，使得它们在逻辑上 层层展开、环环相扣，形成一套易于理解的知识体系。经过多年的使用和迭代改进，知识体系 和表达方式已基本趋于成熟稳定。

最后，趣味性强。以实际问题求解为导向并结合有趣的历史资料进行介绍，很好地展示了 数学知识的实用性和数学存在的普遍性，通过实用性和趣味性巧妙化解了青少年数学学习的困 难，不仅能够有效消除他们数学学习的抵触心理和畏惧心理，而且能够很好地激发他们的好奇 心和问题求解动力，使其在不知不觉中习得数学思维。

这套书内容丰富，文字表述通俗易懂，实例讲解详细，图例直观形象。每章均配有丰富的习题，使得本书不仅适合作为青少年数学思维课程的教材或阅读资料，也可供广大数学爱好 者、数学相关专业的科研人员和工程技术人员自学参考。

这套书由汪雄飞、汪荣贵共同翻译，统稿工作由汪荣贵完成。感谢研究生张前进、江丹、孙旭、尹凯健、王维、张珉、李婧宇、修辉、雷辉、张法正、付炳光、李明熹、董博文、麻可可、李懂、刘兵、王耀、杨伊、陈震、沈俊辉、黄智毅、禚天宇等同学提供的帮助，感谢机械 工业出版社各位编辑的大力支持。

由于时间仓促，译文难免存在不妥之处，敬请读者不吝指正！

译 者

2023 年 4 月

前言：

本书为我们提供了能够在现实世界中派上用场的数学知识纲要。我编写这本书的主要目的 是向学生展示如何以有趣、愉快和有意义的方式将数学应用到实际生活中。本书主题丰富，各 章相对独立，十分适合作为一个或两个学期数学课程的教材，包含了文科数学、定量推理、有 限数学等内容，以及为满足基本数学要求所专门设计的内容。

本书具有如下四个主要目标：

1. 帮助学生掌握数学的基础知识。

2. 向学生展示如何使用数学知识解决实际生活中的问题。

3. 使得学生在面对大学、工作和生活中可能遇到的定量问题和数学思想时，能够对其进行 正确的理解和推理。

4. 在有趣的环境中培养学生解决问题的能力并形成批判性思维。实现这些目标的一个主要障碍在于，很少有学生能够做到用心阅读课本。这一直是我和我的同事经常感到沮丧的原因。我多年来收集的逸事证据显著地表明，导致学生不认真阅读课本的基本因素主要有如下两个：

“这些知识我永远都用不上。”

“我看不懂这些解释。”

本书就是为了消除上述两个因素。

新内容

●全新的和更新的应用案例和实际数据。我一直在寻找可以专门用于说明数学应用的实际数据 和应用案例。为了准备第 7 版，我查阅了大量的书籍、杂志、报纸、年鉴和网站。第 7 版包含了 110 个使用新数据集的可解示例和练习，以及 104 个使用更新数据的示例和练习。新的 应用案例包括学生贷款债务统计、电影租赁选择、学业受阻的五大因素、大学生未按时完成 作业的借口、2020 年工作岗位对不同教育背景的需求、不同专业大学生的平均收入、员工薪酬差距、拼字游戏以及发明家是先天的还是后天的等。

●全新的“布利策补充”内容。第 7 版补充了许多全新的但可选的小文章。新版中的“布利策 补充”内容比以往任何版本的都要多，例如，新增了“用归纳法惊呆朋友吧”“预测预期寿 命”“上大学值得吗？”“量子计算机”“大学毕业生的最佳理财建议”“三个奇怪的测量单 位”“屏幕尺寸的数学”等。

● 新的图形计算器截屏。所有截屏都使用 TI-84 Plus C 进行了更新。

● 全新的 MyLab 数学。除了更新后的 MyLab 数学中的新功能， MyLab 数学还包含了特有 的新项目：

—新的目标视频及评估；

—互动概念视频及评估；

—带评估的动画；

—StatCrunch 集成。

特色

● 章开头和节开头的场景 每一章、每一节都由一个具体的场景展开，呈现了数学在学生课外 生活中的独特应用。这些场景将在章或节的例子、讨论或练习中得到重新讨论。这些开场白 通常语言幽默，旨在帮助害怕和不情愿学习数学的学生克服他们对数学的负面看法。每一章的开头都包含了一个叫作“相关应用所在位置”的特色栏目。

● 学习目标（我应该能学到什么 ?） 每节的开头都有明确的学习目标说明。这些目标可以帮助 学生认识并专注于本节中一些最重要的知识点。这些学习目标会在相关知识点处得到重申。

● 详细的可解例子 每个例子都有标题，以明确该例子的目的。例子的书写尽量做到思路清晰， 并能够为学生提供详细的、循序渐进的解决方案。每一步都有详细的解释，没有省略任何步骤。

● 解释性对话框解释性对话框以各种各样的具有特色的语言表达方式揭开数学的神秘面纱。它们将数学语言翻译成自然语言，帮助阐明解决问题的过程，提供理解概念的替代方法，并在解决问题的过程中尽量与学生已经学过的概念联系起来。

● 检查点的例子 每个例子后面都配有一个相似的问题，我们称之为检查点，通过类似的练习 题来测试学生对概念的理解程度。检查点的答案附在书后的“部分练习答案”部分。MyLab数学课程为很多检查点制作了视频解决方案。

● 好问题！这个特色栏目会在学生提问时展现学习技巧，能够在学生回答问题时提供解决问题的建议，指出需要避免的常见错误并提供非正式的提示和建议。这个特色栏目还可以避免 学生在课堂上提问时感到焦虑或害怕。

● 简单复习 本书的“简单复习”总结了学生以前应该掌握的数学技能，但很多学生仍然需要 对它们进行复习。当学生首次需要使用某种特定的技能，相关的“简单复习”就会出现，以 便重新介绍这些技能。

● 概念和术语检查 第 7 版包含 653 道简答题，其中主要是填空题和判断题，用于评估学生对 于每一节所呈现的定义和概念的理解。概念和术语检查作为一种单独的专题放在练习集之前，可以在 MyLab 数学课程中进行概念和术语检查。

● 覆盖面广且内容多样的练习集 在每节的结尾都有一组丰富的练习。其中的练习包含七个基本类型：实践练习、实践练习 +、应用题、概念解释题、批判性思维练习、技术练习和小组练习。“实践练习 +”通常需要学生综合使用多种技能或概念才能得到解决，可供教师选为 更具挑战性的实践练习。

● 总结、回顾练习和测试 每一章都包含一个总结图表，总结了每一节中的定义和概念。图表还引用了可以阐述关键概念的例题。总结之后是每节的回顾练习。随后是一个测试，用于测试学生对本章所涵盖内容的理解程度。在 MyLab 数学课程或 YouTube 上，每章测试需要准备的问题都附有精心制作的视频解决方案以供参考。

● 学习指南 本书“学习指南”的知识内容是根据学习目标进行组织的，可以为笔记、练习和录像复习提供良好的支持。“学习指南”以 pdf 文件形式在 MyLab 数学中给出。该文件也可以与教科书和 MyLab 数学访问代码打包在一起。

我希望我对学习的热爱，以及对多年来所教过的学生的尊重，能够在本书中体现出来。我想通过把数学知识与学生学习环节联系起来，向学生展示数学在这个世界上是无处不在的，π是真实存在的。

罗伯特·布利策

传播数学，普及大众