这个结论有没有比较优雅的证法

兴秋玉 · 发表于 2025-3-8 20:54:52

帮忙看一下这个证明对不对

平凡的世界 · 发表于 2025-3-8 22:54:54

A和B的列相加，生成新的列可能会和已有的列线性相关，如果有，那就是秩缩水了，如果没有那就是秩不变

平凡的世界 · 发表于 2025-3-9 00:16:36

你这么证只能对方阵有效，我都不用看。秩不等式对同型矩阵都成立，需要回归列空间考虑问题

香乐音 · 发表于 2025-3-9 01:09:10

列分块后考察列向量组之间的关系就行了。

无言以对 · 发表于 2025-3-9 02:43:46

用列向量生成一个线性空间，讨论线性空间的维数，根据维数和秩的关系可得题中结论。

湖北恩施 · 发表于 2025-3-9 04:12:00

A+B的行向量组一定能被A和B的行向量表示，感觉这一句话就能说明

Sawy · 发表于 2025-3-9 06:22:06

取A，B的列空间的一组基合起来必能线性表示A+B的各列，从而rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)

刑晨希 · 发表于 2025-3-9 08:36:15

A+B的列向量组是A+B空间的张成组，A的列向量组并B的列向量组是（A，B)空间的张成组，故：
A+B空间的张成组能被（A，B)空间的张成组线性表出，而（A，B)空间的张成组能被（A，B)空间的基线性表出。
有线性表出的传递性，A+B空间的张成组能被（A，B)空间的基线性表出。又由于A+B空间的每个张成组都能简化成A+B空间的张成组的一个基，所以，A+B空间的基能被（A，B)空间的基线性表出。所以A+B空间是（A，B)空间的子空间。所以，rank(A+B)≤rank(A)+rank(B)

紫秋翠 · 发表于 2025-3-9 09:38:11

A+B可以被[AB]线性表示，又r[AB]≤rA+rB，得证

这个结论有没有比较优雅的证法

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