[lbk]深度科普[rbk]从牛顿到杨振宁:物理学早已经是几何学的形状力！

祝婉静

这一个科普贴，科普的核心预设对象是具有高中物理竞赛或大一水平的物理学生
不过我保证只具备中学物理课基础的听众也能看的很开心

打算分几个部分在几天内更新，感兴趣的uu可以码一下

一。以推广的牛顿定律简单介绍微分流形（小白不要被名词吓到啊我不是会用恐怖的数学公式折磨读者的那种人
）
二。广义相对论如何统一时间和空间，并赋予时空形状。
三。甚么是“场”？场是“函数”吗？——小学生也能听懂的杨米尔斯规范理论！
自我吐槽:看起来好野心勃勃的样子啊，这真的是能轻飘飘地科普的东西吗



Ready，Go！发车——

祝婉静

Day1先做Part1。推广牛顿定律的形式并科普什么是微分流形



我先展示一下教科书里标准的牛顿定律给出单摆摆角随时间演化的步骤:

祝婉静

原始的牛顿定律工作在三维空间（x，y，z）里，用牛顿定律解物理问题就需要对每个质点列出牛顿定律的三个分量方程，对得到的方程组进行接下来的数学处理。
在单摆问题里，原始的牛顿定律形式有两个不方便之处:
1.单摆问题，明眼人一看便知，（在某种我们还没有定义清楚的意义上）是一个“一维”问题
我们列了x和y两个方向的方程，但是x和y并不独立，用一个角度变量theta就可以全部表出，所以我们进行了加减消元，得到只含一个角度变量的方程

2.方程里出现了完全未知且我们并不关心（如果我们只想求解运动不关心绳子会不会断掉）的绳张力T，我们利用消元法消去了它
实际上，这两个是同一个麻烦:  坐标分量比物理问题的“真实维度”多了几个，牛顿定律就会多出几个未知的“约束力”，需要组合这些分量方程来消除掉。
原始的牛顿定律工作在 （x，y，z）三维空间里，我们不能一上来就列出只含一个变量的单摆方程。
在工程实用中，大量需要处理约束问题。在理论物理中，我们需要更加普适的理论框架。这一切使我们希望正式化我们对于“空间”和“维数”的认识，推广牛顿定律的形式，让牛顿定律工作在更加一般的空间上。

祝婉静

一个直截了当的点子就是，采用描述各质点位置所需最少参数的取值集合:“参数空间”。
描述单摆问题，我们就在单个角度参数theta的参数空间上工作，参数空间的图像是下半圆。如果允许单摆的摆动平面旋转，确定单摆位置需要两个参数theta和phi（摆平面绕竖直轴的旋转角），参数空间是下半球面。
描述两个质点的平面运动，需要四个位置参数（x1 ，y1，x2，y2）。
如果两个平面运动质点之间用单位长的轻杆连接，则最少只用三个参数来描述:
点1的笛卡尔坐标（x1，y1），和杆与x轴之间的夹角theta,此时点2的坐标并不独立，可以用三个参数计算（x2=x1+cos theta，y2=y1+sin theta）。
不妨称独立参数的个数为参数空间的维数。

祝婉静

物理学家总是默认运动中出现的函数形式都是性质极为良好——光滑的，例如我们不希望有质量的东西出现锐角转向（连续但不光滑），更不希望发生瞬移（不连续）。描述各质点位置的参数可以有不同的选取方式（例如描述一个质点的三维运动可以用笛卡尔坐标、柱坐标、球坐标，以及各种各样疯狂的坐标），但是这些参数最好不要破坏光滑的性质。
“微分流形”的概念在这里就应运而生了。所谓微分流形，就是“具有一致维数的光滑参数空间”。当然作为数学概念，需要用集合论的基本语言把这些想法严格地表述，本帖作为科普贴，不打算复制粘贴这些严谨的数学句子

祝婉静

有了理想的工作平台（光滑参数空间，以下称呼正式名称微分流形）接下来就考虑在上面书写推广的牛顿定律了！

考虑一个一般的N维微分流形，也就是说，我们物理系统里各质点的坐标需要N个独立的“光滑参数”（x1，x2，…xN）来描述。
牛顿定律说ma=F。问工作于微分流形上时加速度和力长成什么样子？我们考虑理想的系统，力可以由势能给出，势能V就是位置参数的函数V=V(x1，x2，…xN)，可以计算势能在参数空间中的梯度（对各参数的偏导数），力即负梯度（— partial V/partial x1,……，— partial V/partial xN）。
推广的牛顿定律声称，m*加速度在每个参数方向的正交投影等于势能在该方向梯度的负值。见图。
速度在数学上是微分流形上的（切）矢量。使用一般的位置参数时，速度矢量的各分量就是位置参数的时间导数，因此速度可以简单表示为（dx1/dt，…，dxN/dt）。

祝婉静

书写推广的牛顿定律最关键的就是写下“加速度的正交投影”，而这要求在微分流形上指定附加结构:度规（度量）和联络。度量和联络是流形上物理学家最关心的东西，它们可以说是理论物理的中心！



简单地说:一个一般的N维微分流形，或者说参数空间，本来是没有任何结构的，更谈不上具有形状——局部地看，你就是简单地把N个参数放在一起，放在一起，什么也没做。参数空间上没有距离的概念，没有角度的概念，因此没有几何学。
回忆你在物理课上学过的作为三维矢量方程的牛顿定律: 你确实需要距离/长度的概念，否则何以比较运动的快慢？当你将矢量方程投影到某一方向时，你其实是将加速度写成沿该方向的矢量和垂直该方向的矢量之和，即做正交投影，因此你需要角度的概念。距离和角度是几何学之根本（几何学的本意即是大地测量学）。建立牛顿定律需要空间具有几何。

祝婉静

当你已经获得加速度的分量表达式（a1，…,aN）时，获得加速度在各参数方向上的正交投影是通过在流形上指定附加结构:[度规]来实现。  度规就是告诉你怎么在微分流形（参数空间）上测量两点之间距离/两线之间夹角的东西。换言之，度规就是在微分流形上定义几何学的东西。
在笛卡尔坐标系（x，y，z）中，加速度（a1,a2,a3）在坐标x方向的正交投影就是第一个分量a1，这里我们已经默认了度规的形式。但是在一般的流形上，取决于你具体指定的度规，这并不成立。
为了让推广的牛顿定律良好工作，度规当然不是乱指定的，而是有备而来:  动能这个物理量（理论物理中将动能记为T）给出了一般参数空间上的度规定义。
你不需要看的数学抽象话:一个经典力学系统可以由如下三元组定义
（微分流形M，M的切丛TM上一个良好定义的动能函数T，M上的势能函数V）

祝婉静

写下推广的牛顿定律剩下最后一步:加速度的分量表达式如何确定？笛卡尔坐标系中的经验:加速度的分量就是速度分量v1=dx1/dt，…vN=dxN/dt再对时间求一次导数是否是对的？
答案是否定的。原因可以回想一下匀速圆周运动。匀速圆周运动的速率v是定值，dv/dt=0，但是速度方向始终在变化，因此加速度不为零。

当你使用平面极坐标（r，theta）而非笛卡尔坐标描述匀速圆周运动时，速度分量始终是定值（0，v/R），R为圆周运动半径。实际上，速度是一个矢量，速度矢量应该等于分量乘以基底（并求和），使用一般参数坐标时，速度的基底逐点不同，因此即使速度分量不变，加速度也应该有基底的变化率的部分。
简单的思路就是把速度矢量=分量*基底明确写出来，加速度矢量等于速度矢量的时间导数，利用莱布尼兹法则往下做。我们采用一个等价的方式介绍联络的概念:
对时间求导是用相差dt时刻的两个物理量想减除以dt。矢量的基底逐点不同，因此不同地点矢量的分量不能直接加减，这是矢量求导问题的核心。那么，如果我们想办法把t+dt时刻的速度矢量平行移动到t时刻的位置（这个“平行移动”一般将导致分量发生改变），这时它岂不是就与t时刻的速度矢量共享基底了？岂不是就可以分量想减除以dt了？
“联络”的概念应运而生！数学上，联络是微分流形上的又一附加结构，它告所你你如何平行移动地把一点的向量沿一定的路径移动到另一点。指定平行移动方式—联络—之后，可以定义向量的导数:先平移，再做差！
速度是流形上的切矢量（一些物理学教科书上也成为“空间向量”）。注意，流形上也可以有很多不同种类的向量空间，和速度所在的切空间不是八竿子打不着！比如用来放置自旋方向的自旋空间（额，它和切空间倒是有重要的联系），放置夸克波函数的色空间……（见我的另一篇科普帖子https://tieba.baidu.com/p/8948817036?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.59.1.0&st=1713640813&is_video=false&unique=9D1AE24B467C1AB29AFCC8FB9ACAD4E0）
牛顿力学只关心切矢量，切矢量的联络在给定度规后，有标准的形式（由度规导出）。我们开心的发现并不需要真的指定什么别的东西了！

祝婉静

PART1总结（划重点，为了听懂明天更有趣的内容需要且只需要理解这些）
0.一个经典力学系统由一个微分流形（位形参数空间）M，M上势能函数V和一个良好定义的动能形式T完全决定，据此可以写出推广的牛顿定律，有效处理约束问题，经典力学被几何化
1.N维微分流形就是可以（局部）建立坐标/参数和点一一对应，从而用N个坐标（x1，……，xN）良好描述局部性质的空间。微分流形的强大之处是它封装了物理学家关于“好的函数性质”的所有先验要求，允许我们自由地选取相当任意的坐标。
2.度规是你可以在微分流形上指定的附加结构，用来计算距离和夹角。度规在微分流形上建立了古典的几何学。
3.联络是你可以在逐点拥有一个向量空间的微分流形上指定的附加结构，用来告诉你怎么把向量平行移动。一般情况下，有了联络才能谈及对向量求导。